线性空间的结构和性质.doc

_线性空间的结构和性质简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。域的概念：首先介绍数域的概念：设F是至少包含两个数的数集，如果F中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是F中的数，则称F为一个数域。常见的数域有：复数域C、实数域R、有理数域Q，但是自然数集N和整数集Z都不是数域。 以下是线性空间严格的定义：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为zxy在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为ykx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间 也就是说设F是一个非空集合，P是一个数域，在F中定义加法和乘法两种运算，且这两种运算对F来说是封闭的，也就是说，对F中的任意两个元素a，b，a+b和ab仍属于F，如果加法和乘法运算满足以下运算规则，则称F对所规定的加法和乘法运算作成一个域：1.（加法交换律）对F中任意两个元素a，b，有a+b=b+a2.（加法结合律）对F中任意三个元素a，b，c，有(a+b)+c=a+(b+c)3.（存在0元）F中存在一个元素，我们把它记作0，使得对F中的任意元素a，有a+0=a4.（存在负元）对F中的任意元素a，在F中存在一个元素，我们把它记作-a，有 a+(-a)=05.（乘法交换律）对F中任意两个元素a，bab=ba6.（乘法结合律）对F中任意元素a，P中元素b，c，有(ab)c=a(bc)7.（存在单位元）F中存在一个0的元素，我们把它记作e，使得对F中的任意元素a，有ae=a8.（存在逆元）对F中任意0的元素a，在F中存在一个元素，我们把它记作a(因为这里显示不了a的负一次方，所以用a代替)，有aa=e9.（乘法对加法的分配律）对F中任意三个元素a，b，c，有a(b+c)=ab+ac常见的域有：复数域C、实数域R、有理数域Q，但是自然数集N和整数集Z都不是域。我们所考虑的对象虽然不同，但是它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。当然，随着对象的不同，其运算也是不同的。但是，当抽去这些集合中对象（元素）的具体形式及定义运算的具体规则（例如函数的加法规则与向量加法的规则是完全不同的。）之后，从代数运算所遵从的规律上看，如果与普通向量上的运算规律并无本质的不同，那么，也可把这些集合中的对象（元素）称为“向量”。当我们把这些对象当作向量之后，所研究的理论或实际问题通常变得非常简便。线性空间定义设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间 1. V对加法成Abel群，即满足： （1）（交换律）x+y=y+x； （2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z） （3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0； 2. 数量乘法满足： （5）1x=x； （6）k(lx)=(kl)x；3. 数量乘法和加法满足： （7）（k+l）x=kx+lx；（8）k（x+y）=kx+ky 其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。线性空间的判定方法1.一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的某一条，则此集合就不能构成线性空间.2.一个集合，若定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性.3.一个集合，若定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必须检验是否满足八条线性运算规律.简单性质：（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。 （2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。 （3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。 （4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。 例子1. 域F上mn矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。 2. 复数域C是实数域R上的线性空间。 3. 域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。 4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。线性空间的性质：1）零元素是唯一的；事实上，设都是的零元素，则 .2）每个元素的负元素是唯一的。设都是的负元素，则 .3）有 ；.（注意：第一式左边的零是数量，而右边的零是向量）将 的两端加上的负向量得 .将 的两端加上的负向量得；由和负向量的定义得 .4）若，则 或.事实上，若，则.线性空间的子空间 在许多问题中，我们所研究的线性空间往往由某个更大的线性空间的一个适当大小的子集所构成。定义 设V是一个线性空间，L是V的一个非