广义测不准关系与黑洞熵的修正值

第 22 卷 第 5 期2006 年 10 月雁 北 师 范 学 院 学 报J OU RAL O F YANB EI NORMAL U N IV ERSI T YVol . 22 . No . 5Oct . 2006广义测不准关系与黑洞熵的修正值赵仁(山西大同大学物理系 ,山西大同 037009)摘要 :最近 ,人们致力于解决黑洞 (Bekenstein - Hawking) 熵的量子修正问题 . 尤其是 ,许多学者对黑洞熵修正项中的对数项系数产生了极大的兴趣 . 本文 ,利用广义测不准关系对黑洞熵的修正值进行了计算 ,给出了由广义测不准关系而引起的修正项 . 我们在计算中认为 Bekenstein - Hawking 面积定理在考虑广义测不准 关系后仍然成立 ,我们得到黑洞熵修正项中的对数项系数是正的 ,与目前人们给出的结论不同 . 然而我们的方 法具有普适性 ,不仅对单视界时空成立 ,而且对双视界时空也有效. 在整个计算过程中 ,计算方法简明 ,物理意义明确 . 这样我们的结论为进一步研究 Bekenstein - Hawking 面积定理成立的条件提出了新的课题 .关键词 :广义测不准关系 黑洞熵 面积定理文章编号 :1009 - 1939 (2006) 05 - 0021 - 04中图分类号 :O421 . 1文献标识码 :A熵的修正值5 - 12 ,均得到有价值的结果 . 然而客观的讲 ,黑洞熵修正项中对数项系数的准确值尚不清 楚 .由于我们研究黑洞熵 ,是研究黑洞的量子效应 ,则黑洞的辐射粒子或吸收粒子 必 须 考 虑 测 不 准 关 系 . 然而 ,当具有引力作用时海森伯测不准关系不再 满足 ,而取代的是广义测不准关系 . 本文 ,应用广义 测不准关系来探讨黑洞熵的修正值 . 由于我们给出 的方法对时空没有具体的要求 ,所以研究具有普适 性 . 本文 ,对具有代表性的三类时空进行了探讨 . 分 别是 , 第二部分对 Schwarzschild 时空进行了分 析 , 第三部分对 Carfinkle - Ho rowitz - St ro minger 时空 进行了探讨 , 第四部分对具有 双 视 界 的 Reissner - No rdst r m 时空进行了研究. 本文取温度的简单函数引力理论近几十年的最惊人成就之一就是意识到黑洞具有温度和熵1 - 3 ,最近人们感兴趣的是黑 洞熵 ,因为熵在普通热力系统中具有统计的物理意 义 ,它与系统的微观状态数有关 . 然而 ,在爱因斯坦广义相对论中 ,黑洞熵是一个纯几何量 . 如果把黑洞 和普通的热力学系统进行比较 ,就很容易发现一个 重要区别 :黑洞是一个具有强引力的虚空 ,而普通热 力学系统则由原子分子组成 . 普通热力学系统的微 观结构人们可以用其微观成份的统计力学解释热力 学性质. 但是黑洞是否具有和黑洞熵对应的内部自由度4 . 如 果 我 们 设 想 Bekenstein - Haw king 熵 具 有统计意义 . 那么 ,人们如何定义微观态 ? 更乐观地 说 ,如何数微观态数5 ? 这是人们研究黑洞熵的关 键问题.近年来 ,弦理论和单圈量子引力理论 ,对黑洞熵面积定律的统计解释都很成功5 . 那么 , 哪 一 种 理论更完美 ,人们希望通过对黑洞熵的量子修正项 来做出选择 . 由此 ,最近对黑洞熵修正值的研究 ,是 当前研究的热点之一 ,人们通过各种方法探讨黑洞形式 ( c = = G = K = 1) .B1Schwarzschild 黑洞Schwarzschild 黑洞时空线元 :收稿日期 :2006 - 09 - 05基金项目 :山西省自然科学基金资助课题 批准号 :2006011012作者简介 :赵仁 (1954 - ) ,男 ,山西朔州人 ,博士 ,教授 . 研究方向 :黑洞物理学 .- 111 - 2 M1 - 2 MS G = S + 2 l2 l ln S - (2 l2 l ) 2 - + 常数.d s2 = -d t2 +d r2 + r2 + d2.(13)(1)pp22 Srr式中 S 是 Bekenstein - Haw king 熵 . 在计算中为了表达清楚 , 我们可加减任意常数 . 由 ( 13) 知 , 我们可以 计算熵修正的任意项 , 而计算的对数修正项的系数 是正的 , 这与文献 5 中给出的不同 .Haw king 辐射温度 T , 视界面积 A 和熵 S 分别为11T =, A = 42 = 16M2 , S =r2 = 4M2 , (2)HH4rH8M式中 r H = 2 M 是黑洞的视界位置.现在我们考虑黑洞吸收 ( 或辐射) 一个能量为M 的粒子 , 则黑视界面积的增量 ( 或减小) 为2 . Garfinkle2Horowitz2St rominger黑洞Garfinkle2Ho rowitz2St ro minger dilato n 黑洞时空 线元 16 , 17 :dilatonA = 8r Hr H = 32MM .( 3)由于我们所考虑的黑洞辐射是量子效应 , 则能量为 cp 的粒子就应满足海森伯测不准关系x ip j ij .( 4)- 1d r2 + r( r - 2) d21 - 2 M1 - 2 M在引力场中海森伯测不准关系应改为广义测不准关系 13 - 15 :d s2 = -d t2 +2 ,(14)rr式中 = Q 2 / 2 M , Q 是黑洞所带电荷. 黑洞视界面积 A 和熵 S 分别为pix i + 2 l 2 ,( 5)plp iGdA = 4rH( rH - 2 a) = 16M ( M - a) , S = 4M ( M -在 a 不变的情况下 , 我们可得dA = 16( 2 M - a) d M .由此 , 在考虑广义测不准关系后 , 可得a) .(15)1/ 2式中 l pl =是 Planck 长度 ,是常数. 由 ( 5)C3式我们可得( 16)pipl1 -1 -2 l22 l22plplpl(17)d A G =1 + 2+ d A .(x) 2(x) 2pl取 x = 2 r H , ( 17) 式可重写为.( 6)1 +1 -pli2 l 282 l 2 2 a rplpl H在 = 0 点 , 按 Taylo r 级数展开 ( 6) 式 , 可得 5 d A G =1 +-+2AA2 l22 l2 2(2 l 2 ) 2216 (2 l 2 ) 2 a2 r24plplplplHpi 1 + 2+ . (7)2- 2+ ( ) 2i) 2(xA 2A 4xi由 ( 3) 和 ( 4) 知 , 黑洞视界面积的变化可表示为2 l 22 2 2 a22 l 2 3/ 2 apll plpl841 +-+A 2A 3/ 21AA = 8r Hr H 32Mp = 32M x .( 8)(2 l 2 ) 224 (2 l 2 ) 2 a23plpl而由广义测不准关系 ( 7) 和 ( 3) 式知 , 黑洞视界面积的变化可表为A G = 8r Hr H = 32Mp =22+ d A-A 2A 3则82 l22 a282 l23/ 2 aplplA G = A +2 l2ln A +- 2 l22 l22pl1A 1/ 2Aplpl32M1 + 2(9)+ .(x) 2(x) 2x(2 l2) 24 (2 l2 a) 2plpl2+ .(18)+由 ( 8) 和 ( 9) 式得A 2A2 l22 l22在上式的计算中我们应用了a r H . 由 Bekensteinplpld A G =1 + 2+ d A .(10)(x) 2(x) 2- Haw king 面积定理 , 取 S = A / 4 . 由此 , 我们可得到考虑广义测不准关系后熵的表达式 , 即熵的修正 式按照文献 5 , 8 的观点 , 取A .x = 2 r H = 2(11)482 l22 a282 l23/ 2 aS G = S +2 l2ln S +plpl将 ( 11) 代入 ( 10) 并积分可得+-plS 1/ 2S 1A G = A + 2 l2ln A - 2 (2 l2) 2(2 2) 2(2 2) 2- .(12)l pl4l pl a+plplA2+ 常数 .(19)S 2S由 Bekenstein - Haw king 面积定理 , 取 S= A / 4 . 由1xi42 l 2x 2x i22 l 242 l 2x 2ix i22 l 2是有一修正值 . 而我们给出的关系是 ,不论是否考虑广义测不准关系 ,黑洞熵与视界面积的比总是四分 之一 ,即考虑广义测不准关系后 Bekenstein - Haw k2 ing 面积定理总成立. 由此 ,我们得到黑洞熵修正项 中对数项的系数为正 ,而用其它方法得到的对数修正项系数是负值.由以上分析我们可以清楚的看到 ,在计算中我 们只认为 Bekenstein - Haw king 面积定理在考虑广 义测准关系后也成立 ,在没有任何假设的条件下 ,计 算了黑洞熵的修正项 ,所以计算是可靠的. 并且我们所给出的方法具有普适性 ,不仅对单视界黑洞有效 , 而且对非极端的具有内外视的时空也成立. 由此 ,用 此方法进而可对复杂时空的熵修正进行研究 .如能用其它方法准确得到黑洞熵修正项中对数 项的系数 ,我们不但能确定广义测不准关系中的不确定数,而且我们可以得到 Bekenstein - Haw king 面积定理成立的条件 . 为此 ,我们所给出的结论 ,为 进一步研究 Bekenstein - Haw king 面积定理成立的 条件提出了新的课题 .3Reissner - No rdst ro m 黑洞Reissner - No rdst ro m 黑洞时空线元 :22 M Qd s2 = -d t 2 +1 -+r2r2 - 12 MQd r2 + r2 d2 ,1 -+( 20)r22r黑洞的外内视界位置为 r = M M 2 -Q 2 , Q 是黑洞所带电荷 . 黑洞外视界面积 A 和熵 S 分别为A = 4r2 ,S = r2 .( 21)+当 Q 不变时r2+dA = 16d M .( 22)r + - r -由此 , 在考虑广义测不准关系后 , 可得2 l22 l2 2plpld A G =1 + 2+ d A .(23)(x) 2(x) 2取 x = 2 ( r + - r - ) , ( 22) 式可重写为 8Q2162 Q4(2 l2 )d A G = 1 +-+plA 2A 3A22 4 + 8Q16 Q2 (2 l2 ) 2-+ d A .(24)plA 2A 3A参考文献则123Bekenstein J D. 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Grav ,2005 ,22 :533 .8Q282 Q4A G = A +2 l2ln A - (2 l2 )-plplA 2+ 424432Q1 + 8 Q + 64 Q2(2 l2ln) 2-(25)plA23 A33 A3A4在上式的计算中我们应用了 Q r H . 由 Bekenstein- Haw king 面积定理 , 取 S = A / 4 . 由此 , 我们可得到考虑广义测不准关系后熵的表达式 , 即熵的修正 式568Q282 Q4S G = S +2 l2ln S - (2 l2 ) 2-plplA2478244 1 + 8 Q + 64 Q - 32Q2(2 l2ln) 2+ 常数 + (26)plS23 S33 S3S在上式中为了表达清楚 ,我们可以加任意常数 .9101112134结论应用广义测不准关系 ,得到黑洞熵的修正项 . 由(13) (18) 和 (26) 式知 ,对不同的时空而对数修正项的项系数是相同的 ,并且为正 ,与文献 5 给出的结 论不同. 虽然我们所研究的理论与文献 5 应用的理论相同 ,都是考虑了广义测不准关系对黑洞熵的修 正 . 然而文献 5 给出的 ( 13) 式 ,是在考虑广义测不 准关系后 ,黑洞熵与视界面积的比不是四分之一 ,而14151617General ized Uncerta inty Princ iple and Correction Val ue to the Black Hole EntropyZHAO Ren(Depart ment of Physics ,Shanxi Dato ng U niversit y ,Dato ng Shanxi ,037009)Abstract :Recently ,t here has been much at tentio n devoted to resolving t he quant um correctio ns to t he Bekenstein - Hawkingblack hole ent rop y. In particular , many researchers have exp ressed a vested interest in t he coefficient of t he logarit hmic term of t he black hole ent rop y correctio n term. In t his paper ,we calculate t he correctio n value of t he black hole ent rop y by utilizing t he generalized uncertainty p rinciple and obtain t he correctio n term caused by t he generalized uncertainty p rinciple. Because in our calculatio n we t hink t hat t he Bekenstein - Hawking area t heorem is still valid af ter co nsidering t he generalized uncertainty p rinciple ,we derive t hat t he co2 efficient of t he logarit hmic term of t he black hole ent rop y correctio n term is positive. This result is different f ro m t he known result at p resent . Our met hod is valid not o nly for single horizo n spacetime but also for double horizo ns spacetime. In t he whole p rocess , t he p hysics idea is clear and calculatio n is simple. It offers a new way for st udying t he co nditio n t hat Bekenstein - Hawking area t heorem is valid.Key words :generalized uncertainty p rinciple ,black hole ent rop y ,area t heorem(上接第 20 页)4 郭曙光 . 图拟拉普拉斯矩阵的特征值 J , 淮阴师范学院学报 ,2003 ,2 (1) :10 - 12 .5 钟富胜 . 正则图的谱性质 J . 信息工程大学学报 ,2004 ,5 (1) :45 - 47 .6 殷剑宏 . 二分图的 L aplace 矩阵的最大特征值 J . 合肥工业大学学报 ,2004 ,27 (8) :952 - 955 .7张晓东 ,李炯生 . 非负矩阵与有向图的谱半径 J . 数学学报 ,2005 ,48 (1) :181 - 184 .袁抗 . 非负矩阵谱半径的新估计 J . 湛江师范学院学报 ,2006 ,27 (3) :30 - 32 .景何仿 . 非负矩阵最大特征值的新界值 J . 兰州大学学 报 ,2004 ,40 (5) :1 - 3 .8910