北京大学高等数学B期中复习11.6.doc

1.1 实数1. 对加减乘除封闭的集合叫做数域。2. x+yx+y.3. a-ca-b+b-c.4. x-yx-y.1.2 变量与函数1. 既有上界又有下界的函数称为有界函数。2. 定义在区间a,b上的函数y=fx，在a,b上仍可能是无界的。3. shx=12ex-e-x,chx=12ex+e-x.1.3 序列极限1. 序列极限的定义：设an是一个给定的序列，若存在一个实数l，对于任意给定的正数，无论它多么小，都存在一个自然数N，使得an-lN，则我们称an以l为极限。2. 夹逼定理：设an，bn，cn为三个序列，并且存在一个自然数N，使得cnanbn，nN0，若cn与bn都有极限存在并都等于l，则an的极限存在并且也等于l。3. 设序列an及bn分别有极限l1和l2，并且l1l2，则存在一个自然数N，使得anbn，只要nN。4. 设序列an及bn分别有极限l1和l2，并且存在N，使得anbn，只要nN，则l1l2。5. 即使an严格大于bn，仍然只能推出limnanlimnbn。6. 只要我们在一个序列中找到两个子序列，它们都有极限，但极限值却不同，这时原序列就不可能有极限。1.4 函数的极限1. 双侧极限的定义：设y=fx是定义在一点a的空心邻域Ura/a上，若存在一个实数l，对于任意给定的正数，无论它多么小，都存在一个0，使得fx-l，只要0x-a，则我们称当x趋于a时，fx以l为极限。2. 证明函数极限不存在的办法：对于一个定义在a点的某空心邻域内的函数fx，如果能找到两串序列xn和xn，它们都在a的该空心邻域内取值，且当n时都以a为极限，而极限limnfxn与limnfxn都存在但不相等，则fx在xa时不可能有极限。3. 间断点的分类（1） limxx0+0fx与limxx0-0fx都存在，但它们彼此不相等，或者它们相等但不等于函数值fx0，此类间断点称为第一类间断点。当limxx0+0fx=limxx0-0fxfx0时，此时称x0为可去间断点。（2） limxx0+0fx与limxx0-0fx至少有一个不存在，此时称x0为第二间断点。2.1 微商的概念1. 若函数y=fx在一点可导，则函数在该点连续。但是连续不是可导的充分条件。2.2 复合函数的微商和反函数的微商1. 一个函数在一点的导数恰好等于其反函数在对应点的导数的倒数。gfx=x，对此式两边求导得：gfxfx=1。2. tanx=sec2x，cotx=-csc2x.3. sin-1x=11-x2，cos-1x=-11-x2，tan-1x=11+x2，cot-1x=-11+x22.3 无穷小量与微分1. xsinxlnx+1tanx2. df=fxdx2.4 一阶微分的形式不变性及其应用1. x=ty=t，则dydx=tt。2.6 高阶导数与高阶微分1. sinxn=sinx+n2，cosxn=cosx+n2。2. 1xn=-1nn!xn+1，ln1+xn=-1n-1n-1!x+1n。3. fxgxn=k=0nCnkfkxgn-kx。2.7 不定积分1. sec2xdx=tanx+C，csc2xdx=-cotx+C。2. dx1-x2=sin-1x+C=-cos-1x+C，dx1+x2=tan-1x+C=-cot-1x+C2.9 变上限定积分1. 连续函数的变上限定积分就是该函数的一个原函数。3.1 不定积分的换元法1. fxdx=Fx+C2. fxdx=ftdt=F-1x+C3.2 分部积分法1. uxdvx=uxvx-vxdux2. tanxdx=-lncosx+C3. cotxdx=lnsinx+C4. dxa2+x2=1atan-1xa+C5. dxa2-x2=12alnx-ax+a+C6. dxa2-x2=sin-1xa+C7. dxx2a2=lnx+x2a2+C3.3 有理式的不定积分与有理化方法1. Adxx-a=Alnx-a+C2. Adxx-an=A1-nx-a1-n+C3. Bx+Cdxx2+px+q=B2lnx2+px+q+C-Bp2q-p24tan-1x+p2q-p24+C4. Bx+Cdxx2+px+qn=B21-nx2+px+q+C-Bp2dxx+p22+q-p24n对于In=dxt2+a2n，有递推公式In+1=2n-12na2In+t2na2t2+a2n5. t=tanx2，sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，dx=2dt1+t23.4 定积分的分部积分法则与换元积分法则1. 02sin2kxdx=2k-12k2，02sin2k+1xdx=2k2k+13.5 定积