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第三章最小二乘问题的解法,3.1最小二乘问题,问题的来历,需要解决的问题,最小二乘问题的提法,何谓（非）线性最小二乘问题？为什么选择2-范数？,最小二乘问题的分类,m=n:（1a）rank(A)=m=n,(1b)rank(A)=kn:（2a）rank(A)=nm,(2b)rank(A)=knm;mn:（3a）rank(A)=mn;(3b)rank(A)=kmn.,几个特殊的子空间,A的值域-R(A)A的零空间-N(A)一个子空间的正交补空间,如何描述一个空间？-空间（集合）的构造-空间的维数、基、坐标,如果A是n阶方阵，Ax=b有唯一解的充要条件是,如果A是一般矩阵，Ax=b有解的充要条件R(A)=R(A,b).,通解的表达式？何时有唯一解？,现在的问题：最小二乘解的存在唯一性,(1)几何意义,(2)最小二乘问题的另一种表示,最小二乘解的存在唯一性,定理3.1.3线性最小二乘问题的解总是存在的，其解唯一的充要条件是null(A)=0.（此时意味着A的列线性无关）。,最小二乘问题的解集合LS,该集合性质：非空要么集合中有无穷多个元素(rank(A)n）;要么集合中仅有一个元素(rank(A)=n），记为xLS,rank(A)=n,如何求最小二乘解,此时法方程为对称正定线性方程组。如何解法方程？-Cholesky分解解的表达式矩阵的叉积运算潜在的危害。,一个新的符号：,加号逆,使用加号逆，最小二乘问题的解,最小二乘问题的敏度分析,考虑向量b的扰动对最小二乘解的影响,问题的提法为,方阵的逆和一般矩阵的加号逆有一些“联系”,（1）均能给出方程组的通解；（2）均能刻画方程组的敏度。,方阵的逆和一般矩阵的加号逆一些“区别”,运算性质不同如(AB)+B+A+如果矩阵不是列满秩，则求加号逆的运算不是连续的。,温馨提示：涉及加号逆的性质时，请小心，不要想当然。,让我们再看一眼正则方程：,该方程组的条件数,定理3.1.6设矩阵A满秩，则,结论：用
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