函数的极值

1 / 6 函数的极值 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 函数的极值 一、复习引入： 1.常见函数的导数公式： ； 2.法则 1 法则 2, 法则 3 3.复合函数的导数： (理科 ) 4.函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内 0，那么函数 y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 （ ）函数的极值点一定出现在区间的 内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4.判别 f(x0)是极大、极小值的方法 : 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足 “ 左正右负 ” ，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足 “ 左负右正 ” ，则是的极小值点，是3 / 6 极小值 5.求可导函数 f(x)的极值的步骤 : (1)确定函数的定义区间，求导数 (2)求方程 =0的根 (3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 .检查在方程根左右的值 的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 三、讲解范例： 例 1 求 y=x3 4x+的极值 解： y=(x3 4x+)=x2 4=(x+2)(x 2)令 y=0 ，解得x1= 2， x2=2 当 x 变化时， y ， y 的变化情况如下表 -2(-2,2)2 +0 0+ 极大值 极小值 4 / 6 当 x= 2 时， y 有极大值且 y 极大值 =当 x=2时， y 有极小值且 y 极小值 = 5 例 2 求 y=(x2 1)3+1的极值 解： y=6x(x2 1)2=6x(x+1)2(x 1)2 令 y=0 解得 x1= 1， x2=0， x3=1 当 x 变化时， y ， y 的变化情况如下表 -1(-1,0)0(0,1)1 0 0+0+ 无极值 极小值 0 无极值 当 x=0时， y 有极小值且 y 极小值 =0 求极值的具体步骤：第一，求导数 .第二，令 =0求方程的根，第三，列表，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正， 那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么 f(x)在这根处无极值 . 5 / 6 如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 四、课堂练习： 1求下列函数的极值 . (1)y=x2 7x+6(2)y=x3 27x (1)解： y=(x2 7x+6)=2x 7 令 y=0 ，解得 x=. 当 x 变化时， y ， y 的变化情况如下表 . 0+ 极小值 当 x=时， y 有极小值，且 y 极小值 = (2)解： y=(x3 27x)=3x2 27=3(x+3)(x 3)令 y=0 ，解得 x1= 3， x2=3. 当 x 变化时， y ， y 的变化情况如下表 -3(-3,3)3 +0 0+ 6 / 6 极大值 54 极小值 -54 当 x= 3 时， y 有极大值，且 y 极大值 =54 当 x=3 时， y有极小值，且 y 极小值 = 54 五、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法 .求可导函数 f(x)的极值的三个步骤 .还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值