列举法求概率

1 / 10 列举法求概率 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 课题 :列举法求概率 教学目标： 知识与技能目标 学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。 过程与方法目标 经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。 情感与态度目标 通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。 教学重点： 习运用列表法或树形图法计算事件的概率。 教学难点： 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。 教学过程 1.创设情景，发现新知 2 / 10 教材是通过 P151 P152 的例 5、例 6 来介绍列表法和树形图法的。 例 5（教材 P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数相同； (2)两个骰子的点数的和是 9； (3)至少有一个骰子的点数为 2。 这个例题难度较大，事件可能出现的结果有 36 种。若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生 理解起来会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例作基础）。 （ 1）创设情景 引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、 B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘 A 上的数字分别是 1， 6， 8，转盘 B 上的数字分别是 4， 5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2 名同学分别拨动 A、 B 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者， 你会选择哪个装置呢？并请说明理由。 【设计意图】选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间3 / 10 内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。 （ 2）学生分组讨论，探索交流 在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即： “ 停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？ ” 由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及 A、 B 两转盘，即涉及 2 个因 素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材 P148例 2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？ 实际上，可以将这个游戏分两步进行。于是，指导学生构造表格 （ 3）指导学生构造表格 AB457 1 6 8 首先考虑转动 A 盘：指针可能指向 1， 6， 8 三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有 3 个。接着考虑转动 B 盘：当 A 盘指针指向 1 时， B 盘指针可能指向 4、 5、 7 三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。当 A 盘指针指向 64 / 10 或 8 时， B 盘指针同样可能指向 4、 5、 7 三个数字 中的任意一个。一共会产生 9 种不同的结果。 【设计意图】 这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。 （ 4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法） AB457 1（ 1， 4）（ 1， 5）（ 1， 7） 6（ 6， 4）（ 6， 5）（ 6， 7） 8（ 8， 4）（ 8， 5）（ 8， 7） 从表中可以发现： A 盘数字大于 B 盘数字的结果共有 5 种。 P(A 数较大 )=,P(B数较大 )=. P(A 数较大 ) P(B数较大 ) 选择 A 装置的获胜可能性较大。 在学生填写表格过程中，注意向学 生强调数对的有序性。 由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动盘，可能出现 1， 6， 8 三种结果；第二步考虑转动盘，可能出现 4， 5， 7 三种结果。 （ 5）解法二： 由图知：可能的结果为：（ 1， 4），（ 1， 5），（ 1， 7）， （ 6， 4），（ 6， 5），（ 6， 7）， 5 / 10 （ 8， 4），（ 8， 5），（ 8， 7）。共计 9 种。 P(A 数较大 )=,P(B数较大 )=. P(A 数较大 ) P(B数较大 ) 选择 A 装置的获胜可能性较大。 然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。 【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。 2.自主分析，再探新知 通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材 P151 P152的例 5 和例 6）。 例 1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数相同； (2)两个骰子 的点数的和是 9； (3)至少有一个骰子的点数为 2。 例 1 是教材上一道 “ 掷骰子 ” 的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。 第 2 个 第 1 个 123456 6 / 10 1（ 1， 1）（ 1， 2）（ 1， 3）（ 1， 4）（ 1， 5）（ 1， 6） 2（ 2， 1）（ 2， 2）（ 2， 3）（ 2， 4）（ 2， 5）（ 2， 6） 3（ 3， 1）（ 3， 2）（ 3， 3）（ 3， 4）（ 3， 5）（ 3， 6） 4（ 4， 1）（ 4， 2）（ 4， 3）（ 4， 4）（ 4， 5）（ 4， 6） 5（ 5， 1）（ 5， 2）（ 5， 3）（ 5， 4）（ 5， 5）（ 5， 6） 6（ 6， 1）（ 6， 2）（ 6， 3）（ 6， 4）（ 6， 5）（ 6， 6） 由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现： （ 1）满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6个，即（ 1， 1），（ 2， 2），（ 3， 3），（ 4， 4），（ 5， 5），（ 6， 6），所以 P(A)=。 满足条件的结果在表格的对角线上 （ 2）满足两个骰子的点数的和是 9（记为事件 B）的结果有4 个，即（ 3， 6），（ 4， 5），（ 5， 4），（ 6， 3），所以 P(B)=。 满足条件的结果在（ 3， 6）和（ 6， 3）所在的斜线上 （ 3）至少有一个骰子的点数为 2（记为事件 c）的结果有11个，所以 P(c)=。 满足条件的结果在数字 2 所在行和 2 所在的列上 接着，引导学生进行题后小结： 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤如下： 列表； 7 / 10 通过表格计数，确定公式 P(A)=中 m 和 n 的值； 利用公式 P(A)=计算事件的概率。 分析到这里，我会问学生： “ 例 1 题目中 的 “ 掷两个骰子 ”改为 “ 掷三个骰子 ” ，还可以使用列表法来做吗？ ” 由此引出下一个例题。 例 2：甲口袋中装有 2 个相同的球，它们分别写有字母 A 和B；乙口袋中 3 个相同的球，它们分别写有字母 c、 D 和 E；丙口袋中 2 个相同的球，它们分别写有字母 H 和 I。从三个口袋中各随机地取出 1 个球。 （ 1）取出的三个球上恰好有 1 个、 2 个和 3 个元音字母的概率分别为多少？ （ 2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？ 例 2 与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到 3 个因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形 图法。 本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12个，即： （幻灯片上用颜色区分） 这些结果出现的可能性相等。 （ 1）只有一个元音字母的结果（黄色）有 5 个，即 AcH，8 / 10 ADH， BcI， BDI， BEH，所以； 有两个元音的结果（白色）有 4 个，即 AcI， ADI， AEH， BEI，所以； 全部为元音字母的结果（绿色）只有 1 个，即 AEI，所以。 （ 2）全是辅音字母的结果（红色）共有 2 个，即 BcH， BDH，所以。 通过例 2 的解答，很容易得出题后小结： 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时，通常采用 “ 画树形图 ” 。运用树形图法 求概率的步骤如下：（幻灯片） 画树形图； 列出结果，确定公式 P(A)=中 m 和 n 的值； 利用公式 P(A)=计算事件概率。 接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用 “ 列表法 ” 方便，什么时候使用 “ 树形图法 ” 更好呢？ 【设计意图】通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图法求概 率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。 3.应用新知，深化拓展 9 / 10 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力，在此我选择了教材 P154 课后练习作为随堂练习。 （ 1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： 三辆车全部继续前行； 两辆车向右转，一辆车向左转； 至少有两辆车向左转。 随堂练习（ 1）是一道与实际生活相关的交通问题 ，可用树形图法来解决。 （ 2）在 6 张卡片上分别写有 1 6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 通过解答随堂练习（ 2），学生会发现列出的表格和例 1 的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？ 为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考： 在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？ 10 / 10 【设计意 图】以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。 4.归纳总结，形成能力 我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内交流，派小组代表发言。 【设计意图】通过这个环节，可以提高学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。 5.布置作业，巩固提高 考虑到学生的个体差异，