微分方程数值解第一章答案.ppt

1,北京中国地质大学ChinaUniversityofGeosciences，Beijing,微分方程数值解法,教材：微分方程数值方法(第二版)，胡健伟,汤怀民著,科学出版社,2007,2,参考书:微分方程数值解法李荣华等编,高教出版社,2,参考书:微分方程数值解法李荣华等编,高教出版社课堂授课+计算实验考核方式:平时作业+课堂+期末考试任课教师,3,第一章、常微分方程的数值解法第二章、椭圆型方程的差分方法第七章、椭圆型方程的有限元方法第四章、抛物型方程的差分方法第五章、双曲型方程的差分格式,教学内容,第一章基本概念,4,第一章常微分方程初值问题的数值解法,教学目标教学重点教学过程,5,教学目标,了解ODE数值解法的基本内容,掌握Euler法和线性多步方法,会判断常用方法的优劣之处.,第一章基本概念,6,教学重点,基本概念和Euler法线性多步方法稳定性,第一章基本概念,7,教学过程,常微分方程基本概念常微分方程初值问题Euler法及其基本问题线性多步方法数值稳定性Runge-Kutta方法,8,1:常微分方程的基本概念,微分方程:常微分方程和偏微分方程阶解，通解和特解定解问题:初值问题和边值问题,9,常微分方程,偏微分方程,联系着自变量,未知函数及其导数(微分)的方程,称为微分方程.,:未知函数是一元函数,分类,微分方程:常微分方程和偏微分方程,:未知函数是多元函数,10,方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,一阶微分方程,三阶微分方程,一阶微分方程,例如：,微分方程的阶,11,是使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,的阶数相同.,特解,微分方程的解,不含任意常数的解.,（微分方程的绝大部分解）,解,通解,特解,12,确定通解中任意常数的条件.,1)n阶方程的初始条件(或初值条件):,定解条件,定解条件:初值问题和边值问题,2)n阶方程的边界条件(或边值条件):,13,2初值问题：标量形式,考虑一阶常微分方程初值问题：,存在性：f(t,u)在定义域上连续,唯一性：f(t,u)关于u满足Lipschitz条件,14,常微分方程来源举例1,问题1.1上上世纪初英国物理学家Rutherford发现放射性元素的原子是不稳定的,在每一段时间内总有一定比例的原子自然衰变而形成新元素的原子.记t时刻放射性物质的原子数为x(t),据观测单位时间内衰变原子的个数x与当时放射性原子数x(t)之比为常数a.考虑到放射过程中x0,使得当h(0,h0时这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳定性指h0情况下的稳定性。,31,Eular方法的性质,相容性(1阶)收敛性(1阶)稳定性绝对稳定区域,32,总结：基本步骤,解差分方程，求出格点函数,对区间作分割：,求y(x)在xi上的近似值yi。,由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足：,A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容,目的,关键,33,为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：,步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题,误差估计,产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题,34,数值求解微分方程过程示意,微分方程,区域剖分,离散系统的性态研究,递推计算或解线性代数方程组,微分方程离散,初始和边界条件处理,解的存在性、唯一性,解的收敛性和收敛速度,解的稳定性,得到