工程数学(近世代数).ppt

近世代数,高等工程数学,2,代数结构部分,第4章知识准备第5章群第6章环和域,3,第4章知识准备,二元运算定义及其实例运算的表示二元运算的性质交换律、结合律、消去律分配律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元,4,二元运算的定义及其实例,定义设S为集合,映射f：SSS称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f封闭.例1(1)N上的加法、乘法.(2)Z上：加法、减法、乘法.(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设S=a1,a2,an,aiaj=ai，为S上二元运算.,5,二元运算的实例（续）,(5)设Mn(R)表示所有n阶(n2)实矩阵的集合，即矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(6)幂集P(S)上的二元运算：,.(7)SS为S上的所有函数的集合：合成运算.,6,二元运算的表示,算符：,等符号表示二元运算对二元运算，如果x与y运算得到z，记做xy=z；表示二元或一元运算的方法：公式、运算表,7,公式表示例2设R为实数集合，如下定义R上的二元运算：x,yR,xy=x.那么34=30.5(-3)=0.5运算表（表示有穷集上的二元运算）,二元运算的表示（续）,8,运算表的形式,9,运算表的实例（续）,例3Z5=0,1,2,3,4,模5加法的运算表,10,二元运算的性质,定义设为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,yS有xy=yx,则称运算在S上满足交换律.(2)如果对于任意的x,y,zS有(xy)z=x(yz),则称运算在S上满足结合律.,(3)如果对于任意的x,y,zS，若xy=xz，则y=z若yx=zx,则y=z那么称运算满足消去律.,11,消去律,实例:Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律.Zn关于模n加法满足消去律，当n为素数时关于模n乘法满足消去律.当n为合数时关于模n乘法不满足消去律.,12,二元运算的性质（续）,定义设和为S上两个不同的二元运算,如果x,y,zS有(xy)z=(xz)(yz)z(xy)=(zx)(zy)则称运算对运算满足分配律.,13,实例分析,Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；,14,二元运算的特异元素,单位元定义设为S上的二元运算,如果存在eS，使得对任意xS都有ex=xe=x，则称e是S中关于运算的单位元.单位元也叫做幺元.,定理若S中关于运算存在单位元，则单位元是唯一的.,15,二元运算的特异元素（续）,零元设为S上的二元运算,如果存在S，使得对任意xS都有x=x=)，则称是S中关于运算的零元.,定理若S中关于运算存在零元，则零元是唯一的.,16,二元运算的特异元素（续）,可逆元素及其逆元令e为S中关于运算的单位元.对于xS，如果存在yS使得yx=xy=e，则称y是x的逆元.如果x的逆元存在，则唯一，记为x-1,称x是可逆的.,17,实例分析,18,例题分析,解(1)运算可交换，可结合.任取x,yQ,xy=x+y+2xy=y+x+2yx=yx,任取x,y,zQ,(xy)z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx(yz)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,例4设运算为Q上的二元运算，x,yQ,xy=x+y+2xy,(1)运算是否满足交换和结合律?说明理由.(2)求运算的单位元、零元和所有可逆元.,19,给定x，设x的逆元为y,则有xy=0成立，即x+y+2xy=0(x=1/2)因此当x1/2时，是x的逆元.,例题分析（续）,(2)设运算的单位元和零元分别为e和，则对于任意x有xe=x成立，即x+e+2xe=xe=0由于运算可交换，所以0是幺元.,对于任意x有x=成立，即x+2x=x+2x=0=1/2,20,代数系统定义与实例,定义非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数，记做V=.,21,实例,是代数系统，+和分别表示普通加法和乘法.是代数系统，+和分别表示n阶(n2)实矩阵的加法和乘法.是代数系统，Zn0,1,n-1，和分别表示模n的加法和乘法，x,yZn，xy=(xy)modn，xy=(xy)modn也是代数系统，和为并和交，为绝对补,22,5.1群的定义与性质5.2子群5.3循环群5.4置换群,第5章群,23,5.1群的定义及性质,群的定义群中的相关概念有限群、无限群与群的阶Abel群群中元素的幂元素的阶群的性质幂运算规则、群方程的解消去律群的运算表的排列,24,群的定义,定义设G是非空集合，为G上的二元运算.如果(1)此运算是封闭的；（2）此运算满足结合律；（3）存在单位元eG，即对任意xG，有ex=xe=x（4）对G中的任何元素x都有x1G，即x1x=xx1=e则称G关于是群.有时也记作,25,群的实例,是群；,不是群.(2)是群，而不是群.(3)是群.Zn=0,1,n1，为模n加.,26,Klein四元群,设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群,运算表特征：对称性-运算可交换主对角线元素都是幺元-每个元素是自己的逆元a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素.,27,二、群中的相关概念,若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群.群G的所含元素的个数称为群G的阶有限群G的阶记作|G|.若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.,28,实例,和是无限群是有限群，也是n阶群Klein四元群G=e,a,b,c是4阶群上述群都是交换群n阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.,29,实例在中有23=(21)3=13=111=0在中有(2)3=23=2+2+2=6,定义设G是群，xG，nZ，则x的n次幂xn定义为,二、群中的相关概念,30,设G是群，xG，使得等式xk=e成立的最小正整数k称为x的阶（或周期），记作|x|=k，称x为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称x为无限阶元.,在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.,二、群中的相关概念,31,三、群的性质-幂运算规则,定理1设G为群,则G中的幂运算满足：(1)xG，(x1)1=x.(2)x,yG，(xy)1=y1x1.(3)xG，xnxm=xn+m，n,mZ.(4)xG，(xn)m=xnm，n,mZ.注：(xy)n=(xy)(xy)(xy),是n个xy运算，G为交换群，才有(xy)n=xnyn.,32,三、群的性质-群方程存在唯一解,定理2G为群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.a1b是ax=b的解.ba1是ya=b的唯一解.,33,三、群的性质-消去律,定理3G为群，则G适合消去律，即a,b,cG有(1)若ab=ac，则b=c.(2)若ba=ca，则b=c.,34,三、群的性质-运算表排列规则,定理4设G为有限群，则G的运算表中每行每列都是G中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同.注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群.,35,5.1群的定义与性质5.2子群5.3循环群5.4置换群,第5章群,36,子群,定义子群的判定定理重要的几类子群,37,子群的定义,定义设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群,记作HG.若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H0(2)G=Z12是12阶循环群.12的正因子是1,2,3,4,6和12，因此G的子群是：1阶子群=0，2阶子群=0,63阶子群=0,4,8，4阶子群=0,3,6,96阶子群=0,2,4,6,8,10，12阶子群=Z12,子群的实例,50,5.1群的定义与性质5.2子群5.3循环群5.4置换群,第5章群,51,置换群,置换及置换的表示N次对称群,52,n元置换的定义,定义设S=1,2,n,S上的双射函数:SS称为S上的n元置换.一般将n元置换记为例如S=1,2,3,4,5,则都是5元置换.,53,n元置换的表示,置换符号表示轮换表示对换表示,54,k阶轮换与对换,定义设是S=1,2,n上的n元置换.若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik1)=ik,(ik)=i1且保持S中的其他元素不变，则称为S上的k次轮换，记作(i1i2ik).若k=2，称为S上的对换.例如5元置换分别是5阶和2阶轮换=(12345),=(13),其中也叫做对换,55,n元置换分解为轮换,设S=1,2,n，对于任何S上的n元置换，一定可以写成若干个轮换的乘积=12t,56,分解实例,例设S=1,2,8,=(15236)(4)(78)=(15236)(78)=(18342)(567)注意：在轮换分解式中，1阶轮换可以省略.,57,n元置换的乘法与求逆,两个n元置换的乘法就是函数的复合运算n元置换的求逆就是求反函数.例设使用轮换表示是：=(154)(23)(1423)=(152)=(1423)(154)(23)=(354)-1=(154)-1(23)-1=(451)(23)=(145)(23),58,n元置换群及其实例,考虑所有的n元置换构成的集合Sn（1）Sn关于置换的乘法是封闭的.（2）置换的乘法满足结合律.（3）恒等置换(1)是Sn中的单位元.（4）对于任何n元置换Sn，逆置换1是的逆元.这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为n次对称群.n元对称群的子群称为n次置换群.例设S=1,2,3，3次对称群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132),59,S3的运算表,60,S3的子群,S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)，A3=(1),(123),(132)，=(1)=(1),(12),=(1),(13),=(1),(23),61,第6章环与域,环的定义与实例特殊的环交换环含幺环无零因子环整环域,62,环的定义,定义设是代数系统，+和是二元运算.如果满足以下条件:（1）构成交换群（2）构成半群（封闭，结合律）（3）运算关于+运算适合分配律则称是一个环.,63,环的实例,(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)设Zn0,1,.,n1，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.,64,环中的相关概念,通常称+运算为环中的加法，运算为环中的乘法.环中加法单位元记作0乘法单位元（如果存在）记作1.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.,65,特殊的环,定义设是环，(1)若环中乘法适合交换律，则称R是交换环.(2)若环中乘法存在单位元，则称R是含幺环.(3)若a,bR，ab=0a=0或b=0，则称R是无零因子环.(4)若R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环.(5)若R为整环，|R|1,且aR*=R0，a1R,则称R为域.,66,零因子的定义与存在条件,设是环，若存在ab=0,且a0,b0,称a为左零因子，b为右零因子，环R不是无零因子环.实例，其中23=0，2和3都是零因子.无零因子环的条件：可以证明：ab=0a=0或b=0消去律,67,特殊环的实例,(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环.其中除Z之外都是域(2)令2Z=2z|zZ，则构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交