2019届高考数学二轮复习考前冲刺二10个二级结论高效解题学案理.docx

考前冲刺二 10个二级结论高效解题结论1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【例1】 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析显然函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.答案2【训练1】 对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A.4和6 B.3和1C.2和4 D.1和2解析令g(x)f(x)casin xbx，则g(x)是奇函数.又g(1)g(1)f(1)cf(1)cf(1)f(1)2c，而g(1)g(1)0，c为整数，f(1)f(1)2c为偶数.选项D中，123是奇数，不可能成立.答案D结论2抽象函数的周期性与对称性1.函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.2.函数的对称性已知函数f (x)是定义在R上的函数.(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.【例2】 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 017)f(2 018)()A.3 B.2 C.1 D.0(2)(2018日照调研)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_.解析(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 017)f(2 017)，因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.又当x(0，3)时，f(x)x1，f(2 017)f(33661)f(1)2，f(2 018)f(33662)f(2)3.故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31.(2)因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 017)f(50441)f(1)4，所以f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0，所以f(2 016)f(2 017)f(2 018)4.答案(1)C(2)4【训练2】 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A.2 B.1 C.0 D.1解析由f(x2)是偶函数可得f(x2)f(x2)，又由f(x)是奇函数得f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)f(81)f(1)1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，所以f(8)f(0)0，故f(8)f(9)1.答案D结论3两个经典不等式(1)对数形式：x1ln x(x0)，当且仅当x1时，等号成立.(2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且x1).【例3】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n， e.(1)解f(x)的定义域为(0，)，若a0，因为faln 20，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0；所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增，故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点.因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.(2)证明由(1)知当x(1，)时，x1ln x0.令x1，得ln.从而lnlnln11.故1，且x0，所以排除选项C，D.当x0时，由经典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x1，且x0)，易知B正确.答案B(2)已知函数f(x)ex，xR.证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点.证明令g(x)f(x)exx2x1，xR，则g(x)exx1，由经典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0)0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.结论4三点共线的充要条件A，B，C三点共线，共线；向量，中，A，B，C三点共线存在实数，使得，且1.【例4】 已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()A.1 B. C.0 D.0，1解析，x2x0，即x2(1x)，x2(1x)1，解得x0或x1(x0舍去)，x1.答案A【训练4】 在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若，则_.解析如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得ABAT，T，M，N三点共线，1，.答案结论5三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.【例5】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心 B.ABC的垂心C.ABC的重心 D.AB边的中点解析取AB的中点D，则2，(1)(1)(12)，2(1)(12)，而1，P，C，D三点共线，点P的轨迹一定经过ABC的重心.答案C【训练5】 (1)P是ABC所在平面内一点，若，则P是ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析(1)由，可得()0，即0，同理可证，.P是ABC的垂心.(2)为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为BAC的平分线的方向.又0，)，的方向与的方向相同.，点P在上移动.P的轨迹一定要通过ABC的内心.答案(1)D(2)B结论6与等差数列相关的结论(1)若等差数列an的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.(2)若等差数列an的项数为奇数2m1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am，S奇S偶am，.【例6】 (1)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则数列的公差d_.解析(1)由am1am1a0得2ama0，解得am0或2.又S2m1(2m1)am38，显然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案(1)10(2)5【训练6】 设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A.3 B.4 C.5 D.6解析Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差dam1am1，由Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5.答案C结论7与等比数列相关的结论(1)公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*).(2)若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶qS奇.(3)已知等比数列an，公比为q，前n项和为Sn.则SmnSmqmSn(m，nN*).【例7】 (1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A.2 B. C. D.3解析由已知3，得S63S3，因为S3，S6S3，S9S6也为等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，则(2S3)2S3(S93S3).化简得S97S3，从而.答案B(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足S3，S6.求数列an的通项公式；求log2a1log2a2log2a3log2a25的值.解由S3，S6，得S6S3q3S3(1q3)S3，q2.又S3a1(1qq2)，得a1.故通项公式an2n12n2.由(1)及题意可得log2ann2，所以log2a1log2a2log2a3log2a25101223275.【训练7】 已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为_.解析设等比数列an的公比q，易知S30.则S6S3S3q39S3，所以q38，q2.所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为.答案结论8多面体的外接球和内切球(1)长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2a2b2c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2a2b2c2.(2)棱长为a的正四面体内切球半径ra，外接球半径Ra.【例8】 (1)(2018安徽皖北协作区联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为()A.24 B.29 C.48 D.58(2)(2018石家庄教学质量检测)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()A.6 B.5 C. D.解析(1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD)，其外接球即为长方体的外接球.表面积为4R2(322242)29.(2)过点P作PH平面ABCD于点H.由题意知，四棱锥PABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点.设PHh，易知RtPMORtPHF，所以，即，解得h.答案(1)B(2)D【训练8】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16，则该三棱柱的侧棱长为()A. B.2C.4 D.3(2)(2018济南调研)已知球O的直径PA2r，B，C是该球面上的两点，且BCPBPCr，三棱锥PABC的体积为，则球O的表面积为()A.64 B.32C.16 D.8解析(1)由于直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABCA1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为.(2)如图，连接OB，OC，则几何体OBCP是棱长为r的正四面体，所以VOBCPr3，于是VPABC2VOBCPr3，令r3，得r4.从而S球44264.答案(1)A(2)A结论9圆锥曲线的切线问题(1)过圆C：(xa)2(yb)2R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)R2.(2)若点M(x0，y0)在曲线1(a0，b0)上，则过M的切线方程为1.(3)抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0yp(xx0).过抛物线y22px(p0)外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).【例9】 已知抛物线C：x24y，直线l：xy20，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.解联立方程得消去y，整理得x24x80，(4)248160)焦点的弦过抛物线y22px(p0)焦点的弦AB有：(1)xAxB.(2)yAyBp2.(3)|AB|xAxBp(是直线AB的倾斜角).【例10】 过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A.4 B. C.5 D.6解析由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|