工程力学7-2-d19-20b.ppt

工程力学A(下),北京理工大学理学院力学系韩斌,(7-2),39+6/II,2,刚体系统动能的计算,3,4,例题D-3,一质量为，长度为的均质细杆OA在力偶矩为的主动力偶的作用下可绕水平轴O作定轴转动，一质量为，半径为的均质圆盘C在杆上相对于杆作纯滚动，试以图示，为广义坐标，写出系统的动能。,I9-20动能定理动量原理,5,解：,（1）以圆盘中心C为动点，动系与杆OA固连（定轴转动动系）。,OA杆：定轴转动，C轮：一般平面运动,1.OA杆,2.C轮,关键是求轮C质心绝对速度和轮C绝对角速度。,解法一,例题D-3,I9-20动能定理动量原理,6,沿，方向分别投影得到：,例题D-3,I9-20动能定理动量原理,轮C相对于杆作纯滚动，设轮C的绝对角速度为,7,根据轮上C，P两点速度关系有：,(2),由式(1)、(2)得到,上式中各项沿方向投影得到：,（2）求：,设轮上与杆接触点为P，,例题D-3,I9-20动能定理动量原理,8,定系与大地固连，动系与杆OA固连，轮为研究对象。,轮C相对角位移、牵连角位移分别为,轮C的绝对角位移为,(),解法二,例题D-3,I9-20动能定理动量原理,9,3.系统的总动能为,此题最容易犯的一个错误是将轮C的绝对角速度误认为是,（=轮C相对于杆的角速度）,例题D-3,I9-20动能定理动量原理,10,例题D-4,*,I9-20动能定理动量原理,11,解：,轮I不动，故系统动能为,1.曲柄OA：定轴转动,2.动轮II：一般平面运动,(1)求轮II质心A的速度,例题D-4,*,I9-20动能定理动量原理,12,(2)求轮II绝对角速度,定系固连大地；动系固连曲柄OA（定轴转动动系）,(),对轮I，轮II，由刚体角速度合成定理：,(负号表示),轮II平动！,例题D-4,*,I9-20动能定理动量原理,13,3.链条：可分为4部分,平动,直线段ab+cd，均为一般平面运动，,例题D-4,*,I9-20动能定理动量原理,14,4.系统总动能为,例题D-4,*,I9-20动能定理动量原理,15,(二)动量的计算,2.质点系的动量,19动能定理20动量原理(续),16,(刚体质心的矢径公式),对时间求导得到：,刚体的动量等于想象地将刚体的质量都集中于质心时质心的动量。,2.刚体的动量,17,例题D-5,写出以下均质刚体在该瞬时的动量：,19-20动能定理动量原理,18,均质杆OD长l，质量为m1，均质杆AB长2l，质量为2m1，滑块A，B质量均为m2，D为AB的中点，OD杆绕O轴以角速度转动，当OD杆与水平方向的夹角为时，求该瞬时系统的动量。,例题D-6,19-20动能定理动量原理,19,解：,系统包括四部分：,滑块A，B，杆AB，OD，,1.求各刚体质心的速度,OD杆定轴转动：,（方向垂直于OD）,（方向垂直于OD）,AB杆一般平面运动，速度瞬心为P：,（）,例题D-6,19-20动能定理动量原理,20,(),（）,(),注意：系统动量为各刚体动量的矢量和!,例题D-6,19-20动能定理动量原理,21,或表示为：,例题D-6,19-20动能定理动量原理,22,1.质点的动量矩,质点的动量对某点之矩,(D-22),若在点O建立直角坐标系Oxyz，则,(D-23),(类比于力对点之矩、力对轴之矩),（三）动量矩的计算,质点对点的动量矩定位矢量质点对轴的动量矩代数量,23,当质点作平面运动时，动量对平面内某点O之矩或对Oz轴之矩均为：,(D-24),2.质点系的动量矩,设质点系中质点相对于某一固定点O的矢径为，,动量为。,(D-25),质点系对某固定点O的动量矩为：,1)质点系对固定点或固定轴的动量矩,24,质点系对某一固定轴l的动量矩为：,(D-26),(D-27),同理，质点系平面运动时，质点系对平面内某点O的动量矩或对Oz轴的动量矩均为：,25,故质点系对不同的A，O两点的动量矩的关系为：,质点系对某点的动量矩不等于质点系动量对该点之矩！,即,(见书上例22.4),2)对惯性系中不同的两点A,O的动量矩之关系,类比于力对不同两点的力矩之间的关系，,力对A，O两点之矩关系为,26,3)质点系对动点的动量矩,设在惯性参考系中有任意一动点A，其速度为。,固连于动点A建立平移直角坐标系，,(D-29),(D-30),将质点系中各质点的绝对动量对动点A之矩的矢量和定义为质点系对动点A的绝对动量矩，用表示，即：,27,将质点系中各质点的相对动量对动点A之矩的矢量和定义为质点系对动点A的相对动量矩，用表示，即：,(D-31),质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系：,28,(D-32),故质点系对动点A的绝对动量矩和相对动量矩的关系为：,其中为质点系质心C在动系中的相对坐标，为动点的绝对速度。,绝对动量矩=相对动量矩+总质量乘以动点绝对速度放在质心后对动点之矩,29,(D-33),质点系对质心的动量矩，无论是在固定坐标系还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。,(D-32),质点系对动点A的绝对动量矩和相对动量矩的关系为：,30,3.刚体的动量矩,1)平移刚体的动量矩,刚体平移时，建立质心平移坐标系，各质点的相对速度，故平移刚体对其质心的动量矩：,平移刚体对任意固定点A的动量矩为：,(D-35),平移刚体对任意固定点A的动量矩等于将平移刚体的质量视为全部集中在质心C上时对点A的动量矩(即平移刚体相当于一个质点)。,当刚体作平面平移运动时，对该平面内任一点的动量矩可视为代数量。,31,2)定轴转动刚体的动量矩,定轴转动刚体对定点O的动量矩为,(D-36),32,(D-36),由上式可知，定轴转动的任意形状刚体对转轴上任意点的动量矩矢量一般不沿转轴的方向。,作为特例，当转轴z轴为刚体的惯量主轴时，才有：,此时动量矩矢量才沿转轴方向！,也可用代数量表示：,例如，刚体作平面定轴转动，转轴垂直于刚体的质量对称面时。,33,3)一般平面运动刚体的动量矩,建立惯性参考空间中的定系Oxyz和质心平移坐标系，,(D-38),使三对坐标轴分别平行,且使，轴垂直于刚体的运动平面，则一般平面运动刚体相对质心平移坐标系的相对运动为绕轴的定轴转动：,若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面，则轴为刚体对质心的惯量主轴，即，则有：,(D-39),为刚体对中心惯量主轴的转动惯量,34,一般平面运动刚体对质心C(惯量主轴)的动量矩,(D-39),若对位于该刚体运动平面上的任意固定点A，则有：,对空间中任意固定点A，则有：,(D-42),(D-41),符号选择由矢量对A点之矩的转向决定,35,36,求该系统对转轴O点的动量矩。,解：,轮O定轴转动，物块B平动，,(负号表示转向为),例题D-7,19-20动能定理动量原理,37,均质圆柱，半径为r，质量为m，绕有细绳，A端固定，圆柱质心C以速度vC向下运动，求圆柱对质心C及定点A的动量矩。,解：,圆柱作一般平面运动,(),圆柱对其质心C的动量矩为：,(负号表示),利用圆柱对A，C两点的动量矩关系：,例题D-8,19-20动能定理动量原理,(负号表示),38,圆盘O半径为r，质量m，以角速度转动，均质杆AB,BD的质量均为m，长均为2r，滑块B,D质量均为m，分别在水平和铅垂滑道内运动，A,B,D处为铰接，某瞬时杆AB水平,杆BD与铅垂方向夹角为30，求此瞬时系统的动能,动量，以及系统对O点的动量矩。,例题D-9,19-20动能定理动量原理,39,解：,圆盘定轴转动，两滑块平移，杆BD一般平面运动，,杆AB此时刻为瞬时平动,系统此时动能：,例题D-9,19-20动能定理动量原理,(),40,圆盘定轴转动，两滑块平动，杆BD一般平面运动，,杆AB此时刻为瞬时平动,例题D-9,19-20动能定理动量原理,系统该时刻的动量：,41,圆盘定轴转动，两滑块平动，杆BD一般平面运动，,杆AB此时刻为瞬时平动,例题D-9,19-20动能定理动量原理,系统该瞬时对定点O的动量矩：,(),(),42,注意：系统该瞬时的动能、动量、动量矩都是特殊位置的量，不可直接对其求导求出动能、动量、动量矩的时间变化率！,例题D-9,19-20动能定理动量原理,43,例题D-10,19-20动能