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小学数学拓展训练,相城区湘城小学李建锋,知识要点,我们通常解题是根据题目给出的条件直接列出算式求解。可是对有些题目来说，这样做很麻烦。如果我们化繁为简，化大为小，先从最简单的入手，逐渐增加，最终可以得到一个有规律的数列，这样解决起来就容易得多了。,一、找规律,例题精选,例1：小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？,一、找规律,分析与解,登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+23（种）一般地，登上第n级台阶，或者从第（n1）级台阶跨一级上去，或者从第（n2）级台阶跨两级上去。,分析与解,根据加法原理，如果登上第（n1）级和第（n2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（ab）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。,例题精选,例2：在右下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？,分析与解,我们可以从最简单地入手，（1，1）、（1，2），（2，1），（2，2）我们发现，所有方形右上角的数字等于其左、下两个数字之和。如D=E+F。,按此原理，依次向上、向右填到B点。则有20+15=35条不同路线。,例3：10条直线最多可把一个长方形分成多少块？,提示：先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条直线能把一个长方形分成几块？,例题精选,10条直线最多可把一个长方形分成多少块？,第一条直线：分成2块,第二条直线：分成2+2=4块,第三条直线：分成2+2+3=7块,分析与解,10条直线最多可把一个长方形分成多少块？,我们发现这样的规律：2+（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=2+54=56（块）这就是说，10条直线可把长方形分为56块。,分析与解,例题精选,例4：A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？,分析与解,按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表：可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。（100-1）4243，,所以第100次后的情况与第4次（314）后的情况相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5个球。,练习,1.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？2.在下图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？,3.有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？,二、简便计算,三、巧求面积例1.如图1，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）,分析：阴影部分是不规则图形，不能直接求面积。仔细观察不难发现，由于两个梯形完全相同，则阴影部分的面积与梯形ABCD的面积相等。,（102+10）4236（平方厘米）,解析：阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。因为BD=2/3BC，所以SBDF2SDCF。又因为AEED，所以SABFSBDF2SDCF。因此，SABC5SDCF。由于SABC8平方厘米，所以SDCF851.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.623.2（平方厘米）。,解析：已知SBOC是SDOC的2倍，且高相等，可知：BO2DO；从SABD与SACD相等（等底等高）可知：SABO等于6，而ABO与AOD的高相等，底是AOD的2倍。所以AOD的面积为623。因为SABD与SACD等底等高所以SABO6因为SBOC是SDOC的2倍所以ABO是AOD的2倍所以AOD623。,例4.如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。,解析：我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如图所示）。I和II的面积相等。,因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以6424（平方厘米）,例5.如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，ABC30，求阴影部分的面积。,解析：阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。（得数保留两位小数）半径：422（厘米）扇形的圆心角：180（180302）60（度）扇形的面积：223.1460/3602.09（平方厘米）三角形BOC的面积：7221.75（平方厘米）7（2.09+1.75）3.16（平方厘米）,例6.如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。,解析：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分a的面积，再用大扇形的面积减去空白部分a的面积。如图所示。,3.14621/4（643.14421/4）16.82（平方厘米）,例7.在正方形ABCD中，AC6厘米。求阴影部分的面积。,解析：这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。,既是正方形的面积，又是半径的平方为：6（62）218（平方厘米）阴影部分的面积为：18183.1443.87（平方厘米）,例8.在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。,解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。,空白部分的一半：1010（102）23.1421.5（平方厘米）阴影部分的面积：101021.5257（平方厘米）解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。（102）23.142101057（平方厘米）,四、表面积与体积,例1.从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？,解析：沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。,例2.把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。,而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）2来计算。（339+338+3310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米）,例3.把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？分析：把两个相同的大长方体拼成一个大长方体，需要把两个相同面拼合，所得大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个97的面。解：（99+94+74）22972=（63+36+28）4126=508126=382（平方厘米）,例4.一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。解析：体积=长宽高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽高=402=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长高=903=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长宽=964=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长宽+长高+宽高）2=（20+30+24）2=148（平方厘米）。即402=20（平方厘米）903=30（平方厘米）964=24（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米）,例5.如图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。,如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。3.141.522+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.14（4.5+3+2+1）=3.1410.5=32.97（平方米）,例6.一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？解析：在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中，排开水的体积是8815=960（立方厘米）。而现在瓶中水深是8厘米，要淹没15厘米高的铁块，水面就要上升158=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14101088）7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在水中。,当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是3.14101088=250（平方厘米）。水的形状变了，但体积还是3.1410108=2512（立方厘米）。水的高度是2512250=10.048（厘米），上升10.0488=2.048（厘米）3.1410108（3.14101088）8=25122508=10.0488=2.048（厘米）,五、解决实际问题,列方程解决问题,列方程解决问题,量率对应,（米）,单位一的转化,7.一本书，第一天看了全书页数的25%，第二天看了余下的25%，还剩90页没有看，这本书一共有多少页？,（页）,还原解题,行程问题,9.A,B两地相距440千米，甲，乙两车同时从两站相对开出，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只信鸽以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又向乙车飞去，这样一直飞下去，信鸽飞行了多少千米两车才能相遇？,10.南京长江大桥全长6700米，一列长140米的火车，从车头上桥到车尾离桥共用342秒，这列火车的速度？,从车头上桥到车尾离桥,火车过桥：就是指火车车头上桥到车尾离桥。,10.南京长江大桥全长6700米，一列长140米的火车，从车头上桥到车尾离桥共用342秒，这列火车的速度？,(火车长度+桥的长度)过桥时间,从车头上桥到车尾离桥,速度=路程时间,342秒,（6700+140）342=6840342=20（米秒）答：这列火车的速度是每秒20米。,路程=桥的长度+车的长度,路程,火车速度=,11.某船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需要10小时，逆水而上需要15小时，由于暴雨后水速增加，该船顺水而行需要9小时，那么逆水而行需要多少小时？解析：根据关系式：（顺水速度+逆水速度）2=船速，那么可以求出船速，船速知道后可以根据顺水行船时间求出水流速度，则逆水行船的时间可以求出。船在静水中的速度为：(18010+18015)2=15(千米/时)暴雨后的水流速度为：1809-15=5千