高中数学导数及其应用.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教版.pptx

主题函数极值的概念及求法观察图象回答下面问题,1函数在点xa的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？提示：函数在点xa的函数值比它在点xa附近的其他点的函数值都小.,2f(a)等于多少？在点xa附近，函数的导数的符号有什么规律？提示：f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.,3函数在点xb处的情况呢？提示：函数在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.,结论：极大(小)值的概念(1)函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且_,在点xa附近的左侧_，右侧_，则a叫做极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.,f(a)0,f(x)0,f(x)0,(2)函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且_,在点xb附近的左侧_，右侧_，则b叫做极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值.,f(b)0,f(x)0,f(x)0,【微思考】1.函数的极值可以在区间端点处取得吗？提示：不可以，因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况，况且端点处的导数不一定为0.,2.当f(x0)=0时，x=x0是否一定为y=f(x)的极值点？提示：不一定，只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点.,3.函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.,【预习自测】1.函数yf(x)的导数y与函数值和极值之间的关系为()A.导数y由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B.导数y由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值,C.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值【解析】选D.由导数y与函数值的变化情况以及极值之间的关系，可知选项D正确.,2.(2016陕西高考)设函数，则()A.为f(x)的极大值点B.为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点,【解析】选D.函数f(x)的定义域为(0,+)，.当x=2时，f(x)=0；当x2时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，函数f(x)为减函数，所以x=2为函数f(x)的极小值点.,3.如图是导函数y=f(x)的图象，函数y=f(x)的极大值点是,极小值点是.,【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方，导数为正，在点x2右侧附近导数图象在x轴下方，导数为负，故点x2为极大值点，因为在点x4左侧导数图象在x轴下方，导数为负，在点x4右侧附近导数图象在x轴上方，导数为正，故点x4为极小值点.答案：x2x4,4.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.(仿照教材P94例4的解析过程)【解析】f(x)=3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知：当x=-1时，f(x)有极大值f(-1)=10.当x=3时，f(x)有极小值f(3)=-22.,类型一求函数的极值【典例1】求函数的极值.【解析】函数的定义域为(0,+)，且,令f(x)=0，得x=e，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：故当x=e时，函数取得极大值，无极小值.,【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤(1)定区间求导：确定函数的定义区间，求导数f(x).(2)解方程：求方程f(x)=0的根.(3)列表：用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.,(4)检测判断：检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.,【巩固训练】1.求函数的极值【解析】函数的定义域为(，0)(0，)，令y0，得x2.,当x变化时，y,y的变化情况如下表：由表知：当x2时，y极大值8；当x2时，y极小值8.,2.设函数f(x)x3+ax29x的导函数为f(x)，且f(2)15.(1)求函数f(x)的图象在x0处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值,【解析】(1)因为f(x)3x22ax9，因为f(2)15，所以124a915，所以a3.所以f(x)x33x29x，所以f(x)3x26x9，所以f(0)0，f(0)9，所以函数在x0处的切线方程为y9x.,(2)令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,即函数f(x)在(，3)上单调递增，在(3,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x3时，f(x)有极大值27，当x1时，f(x)有极小值5.,【补偿训练】求函数的极值.【解析】因为函数的定义域为R，所以.令y=0，得，解得x=-1或x=1.,当x变化时，y,y的变化情况如表：故当x=-1时，函数有极小值，且y极小值=f(-1)=-3；当x=1时，函数有极大值，且y极大值=f(1)=-1.,类型二利用函数极值求参数的值【典例2】(2016四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=()A.-4B.-2C.4D.2,【解题指南】求出f(x)，解出方程f(x)=0的根，再根据不等式f(x)0,f(x)0.,2.三次函数单调性与极值(设x10,则f(x)在R上是增函数;若a0时,若a0,则f(x)的增区间为(-,x1)和(x2,+),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;若a0,则f(x)的减区间为(-,x1)和(x2,+),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如图所示),【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.,【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.因为,所以，,当x(0,1)时,(x)0,(x)是增函数;当x(1,3)时,(x)0,(x)是减函数;当x(3,+)时,(x)0,(x)是增函数;当x=1,或x=3时,(x)=0.,所以(x)极大值=(1)=m-7,(x)极小值=(3)=m+6ln3-15.因为当x充分接近0时,(x)0,当x充分大时,(x)0.所以要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须即7m15-6ln3.,所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范