数字与信号处理第1章.ppt

第1章离散时间信号与系统,1.1离散时间信号序列1.2连续时间信号的采样1.3离散时间系统时域分析1.4Z变换1.5拉氏变换、傅氏变换与Z变换1.6离散时间系统的频域分析（域和域）,1.1离散时间信号序列,离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的一个序列。它既可以是实数也可以是复数。一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数，表示为x(n)或x(n)。尽管独立变量n不一定表示“时间”（例如，n可以表示温度或距离），但x(n)一般被认为是时间的函数。因为离散时间信号x(n)对于非整数值n是没有定义的，所以一个实值离散时间信号序列可以用图形来描述，如图1-1所示。横轴虽为连续直线，但只在n为整数时才有意义。纵轴线段的长短代表各序列值的大小。,图1-1离散时间信号x(n)的图形表示,离散时间信号常常可以对模拟信号(如语音)进行等间隔采样而得到。例如，对于一个连续时间信号xa(t)，以每秒fs=1/T个采样的速率采样而产生采样信号，它与xa(t)的关系如下：,然而，并不是所有的离散时间信号都是这样获得的。一些信号可以认为是自然产生的离散时间序列，如每日股票市场价格、人口统计数和仓库存量等。,1.1.1序列的运算,1序列的移位如图1-1所示的序列x(n)，其移位序列w(n)为,当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列;当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。图1-2显示了x(n)序列的延时序列w(n)=x(n-2),即m=2时的情况。,图1-2图1-1序列x(n)的延时,2序列的翻褶如果序列为x(n),则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如图1-3(a)、(b)所示。,图1-3序列的翻褶(a)x(n)序列；(b)x(-n)序列,3序列的和两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。和序列z(n)可表示为,4序列的乘积两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。乘积序列f(n)可表示为,5序列的标乘序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列f(n)可表示为,6累加设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为,它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。,7差分运算前向差分x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出x(n)=x(n-1),1.1.2几种常用序列1单位脉冲序列(n),这个序列只在n=0处有一个单位值1，其余点上皆为0，因此也称为“单位采样序列”。单位采样序列如图1-4所示。,(1-1),图1-4(n)序列,这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。但是，在连续时间系统中，(t)是t=0点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号，并非任何现实的信号。而离散时间系统中的(n)，却完全是一个现实的序列，它的脉冲幅度是1，是一个有限值。,2单位阶跃序列u(n),如图1-5所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)。,(1-2),图1-5u(n)序列,(n)和u(n)间的关系为,这就是u(n)的后向差分。而,令n-m=k，代入此式可得,这里就用到了累加的概念。,(1-3),(1-4),(1-5),3矩形序列RN(n),(1-6),矩形序列RN(n)如图1-6所示。,图1-6RN(n)序列,RN(n)和(n)、u(n)的关系为:,(1-7),(1-8),4实指数序列,式中，a为实数。当|a|1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的，如图1-7所示。,图1-7指数序列(a)|a|1;(c)a=-|a|,5正弦型序列x(n)=Asin(n0+)(1-10)式中:A为幅度;为起始相位;0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。0=0.1时,x(n)序列如图1-8所示，该序列值每20个重复一次循环。,图1-8正弦序列(0=0.1),6复指数序列序列值为复数的序列称为复指数序列。复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列：,(1-11a),或,(1-11b),式中，0是复正弦的数字域频率。,对第一种表示，序列的实部、虚部分别为,如果用极坐标表示，则,因此有：,1.1.3序列的周期性如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足,(1-12),则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。,现在讨论上述正弦序列的周期性。由于,则,若N0=2k,当k为正整数时，则,这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2k/0（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。（1）当2/0为正整数时，周期为2/0，见图1-8。（2）当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则,式中，k,N为互素的整数，则为最小正整数，序列的周期为N。,（3）当2/0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。这时，正弦序列不是周期性的。这和连续信号是不一样的。同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。下面，我们来进一步讨论，如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？,设连续正弦信号xa(t)为,这一信号的频率为f0，角频率0=2f0，信号的周期为T0=1/f0=2/0。如果对连续周期信号xa(t)进行采样，其采样时间间隔为T，采样后信号以x(n)表示，则有,如果令0为数字域频率，满足,式中,fs是采样频率。可以看出，0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2，或说是连续正弦信号的角频率0对采样频率fs的相对频率。用0代替0T，可得,这就是我们上面讨论的正弦型序列。,下面我们来看2/0与T及T0的关系，从而讨论上面所述正弦型序列的周期性的条件意味着什么？,这表明，若要2/0为整数，就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍；若要2/0为有理数，就表示T0与T是互为互素的整数，且有,(1-13),式中，k和N皆为正整数，从而有,即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。,1.1.4用单位采样序列来表示任意序列用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统（下面即将讨论）是很有用的。设x(m)是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即,(1-14),由于,则,因此，式（1-14）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。,1.1.5序列的能量序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和，即,(1-15),1.2连续时间信号的采样,在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其采样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换，信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的。要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开始。,采样器可以看成是一个电子开关，它的工作原理可由图1-9（a）来说明。设开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。如果开关每次闭合的时间为秒，那么采样器的输出将是一串周期为T，宽度为的脉冲。而脉冲的幅度却是重复着在这段时间内信号的幅度。如果以xa(t)代表输入的连续信号，如图1-9（b）所示，以xp(t)表示采样输出信号，它的结构如图1-9（d）所示。显然，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲信号，如图1-9（c）所示，并以p(t)表示，而调制信号就是输入的连续信号。因而有,一般开关闭合时间都是很短的，而且越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号在离散时间点上的瞬时值。当2fh频率h一般称为奈奎斯特频率，而频率2h称为奈奎斯特率。采样频率必须大于奈奎斯特率。在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到(34)h。同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般在采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为s/2，以便滤除掉高于s/2的频率分量。,同样方法，可以证明（亦可代j=s到式（1-27），理想采样后，使信号的拉普拉斯变换在S平面上沿虚轴周期延拓。也就是说,在S平面虚轴上是周期函数。即有,(1-34),式中：,即分别是的双边拉普拉斯变换。,1.2.3采样的恢复如果理想采样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率,则采样后不会产生频谱混叠，由式1-27）知,故将通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特性如图1-12所示。,图1-12采样的恢复,采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱,因此，在输出端可以得到原模拟信号,理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个可实现的滤波器来逼近它。,1.2.4由采样信号序列重构带限信号理想低通滤波器的冲激响应为,由与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为,这里h(t-nT)称为内插函数：,(1-35),它的波形如图1-13所示，其特点为：在采样点nT上，函数值为1;其余采样点上，函数值都为零。,图1-13内插函数,由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷积结果也可以表示为,(1-36),式（1-36）称为采样内插公式，即信号的采样值xa(nT)经此公式而得到连续信号xa(t)。也就是说，xa(t)等于各xa(nT)乘上对应的内插函数的总和。在每一采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由加权内插函数波形的延伸叠加而成，如图1-14所示。这个公式说明了，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特采样定理的意义。由上面讨论可看出采样内插公式只限于使用到限带（频带有限）信号上。,图1-14采样内插恢复,1.3离散时间系统时域分析,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以T来表示这种运算，则一个离散时间系统可由图1-15来表示，即,(1-37),离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。,图1-15离散时间系统,1.3.1线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。如果系统在x(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)即:,那么当且仅当式（1-38a）和式（1-38b）成立时，该系统是线性的,（1-38a）,和,（1-38b）,式中,a为任意常数。上述第一个性质称为可加性，第二个称为齐次性或比例性。这两个性质合在一起就成为叠加原理，写成,（1-39）,式(1-39)对任意常数a1和a2都成立。该式还可推广到多个输入的叠加，即,（1-40）,式中,yk(n)就是系统对输入xk(n)的响应。在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例常数都可以是复数。,例1-1以下系统是否为线性系统：y(n)=2x(n)+3很容易证明这个系统不是线性的，因为此系统不满足叠加原理。,证,很明显，在一般情况下,所以此系统不满足叠加性，故不是线性系统。,同样可以证明，,1.3.2时不变系统系统的运算关系T在整个运算过程中不随时间（也即不随序列的延迟）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。这个性质可用以下关系表达：若输入x(n)的输出为y(n)，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着移位外，数值应该保持不变，即若Tx(n)=y(n)则Tx(n-m)=y(n-m)（m为任意整数）(1-41)满足以上关系的系统就称为时不变系统。,例1-2证明,不是时不变系统。,证,由于二者不相等，故不是时不变系统。同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（LTI）离散时间系统，简称LTI系统。除非特殊说明，本书都是研究LTI系统。,1.3.3单位脉冲响应与系统的输入输出关系线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用h(n)表示单位脉冲响应，即h(n)=T(n)有了h(n)我们就可以得到此线性时不变系统对任意输入的输出。下面讨论这个问题：设系统输入序列为x(n)，输出序列为y(n)。从式（1-14）已经知道，任一序列x(n)可以写成(n)的移位加权和，即,则系统的输出为,由于系统是线性的，可利用叠加原理式（1-40），则,又由于系统的时不变性，式（1-41）对移位的单位脉冲的响应就是单位脉冲响应的移位。,因此,（1-42）,如图1-16所示。上式称为序列x(n)与h(n)的离散卷积，为了同以后的圆周卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”，并以“*”表示之。,图1-16线性时不变系统,图1-17离散卷积,图1-17离散卷积,（1）翻褶：先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)，将h(m)以m=0的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。（2）移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时，右移n位;当n为负整数时，左移n位。（3）相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。（4）相加：把以上所有对应点的乘积累加起来，即得y(n)值。依上法，取n=,-2,-1,0,1,2,各值，即可得全部y(n)值。,由式（1-42）不难看出，卷积与两序列的先后次序无关。证令n-m=m代入式（1-42），然后再将m换成m，即得,(1-43),因此,1.3.4线性时不变系统的性质,1交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关，即卷积服从交换律，故,这就是说，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变。,(1-44),2结合律可以证明卷积运算服从结合律，即,这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关，如图1-18所示。,(1-45),3分配律卷积也服从加法分配律：,(1-46),也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和,如图1-19所示。以上三个性质，交换律前面已经证明了，另外两个性质由卷积的定义可以很容易加以证明。,图1-18具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统,图1-19线性时不变系统的并联组合及其等效系统,1.3.5因果系统所谓因果系统，就是系统此时的输出y(n)只取决于此时，以及此时以前的输入，即x(n),x(n-1),x(n-2),。如果系统的输出y(n)还取决于x(n+1),x(n+2),，也即系统的输出还取决于未来的输入，这样在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统，也即不现实的系统。根据上述定义，可以知道，y(n)=nx(n)的系统是一个因果系统，而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系统是非因果系统。,从式（1-43）卷积公式，我们可以看到线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是h(n)=0n0(1-47)依照此定义，我们将n0，x(n)=0的序列称为因果序列，表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。,我们知道，许多重要的网络，如频率特性为理想矩形的理想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统。但是数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许有很大延时。这是对于某一个输出y(n)来说，已有大量的“未来”输入x(n+1),x(n+2),，记录在存储器中可以被调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统。也就是说，可以用具有很大延时的因果系统去逼近非因果系统。这个概念在以后讲有限长单位脉冲响应滤波器设计时要常用到，这也是数字系统优于模拟系统的特点之一。因而数字系统可以比模拟系统更能获得接近理想的特性。,1.3.6稳定系统稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。如果对于输入序列x(n)，存在一个不变的正有限值Bx，对于所有n值满足|x(n)|Bx（1-48）则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值By，对于所有n值，输出序列y(n)满足|y(n)|By0时h(n)=y(n)=0，将式（1-53）改写为另一种递推关系y(n-1)=2y(n)-x(n)或y(n)=2y(n+1)-x(n+1)又利用已得出的结果h(n)=0(n0),则有：,所以,也可表示为,这样的系统是非因果系统，而且是非稳定的。,1.4.1Z变换的定义及收敛域1.Z变换的定义一个离散序列x(n)的Z变换定义为,1.4Z变换,式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用Zx(n)表示对序列x(n)进行Z变换，也即,(1-54),(1-55),这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下：,这种单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。单边Z变换只有在少数几种情况下与双边Z变换有所区别。比如，需要考虑序列的起始条件，其他特性则都和双边Z变换相同。本书中如不另外说明，均用双边变换对信号进行分析和变换。,(1-56),2.Z变换的收敛域显然，只有当式（1-54）的幂级数收敛时，Z变换才有意义。对任意给定序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。按照级数理论，式（1-54）的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求,(1-57),要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即Rx-|z|Rx+收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图1-21中的斜线部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：,1-21,分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。Z平面上收敛域的位置，或者说Rx-及Rx+的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如下。（1）有限长序列:序列x(n)只在有限区间n1nn2之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。也即,其Z变换为,设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括点。具体有限长序列的收敛域表示如下：,有时将开域(0,)称为“有限Z平面”。,例1-5x(n)=(n)，求此序列的Z变换及收敛域。解这是n1=n2=0时有限长序列的特例，由于所以收敛域应是整个z的闭平面(0|z|)，如图1-22所示。,图1-22(n)的收敛域(全部Z平面),例1-6求矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。,解,这是一个有限项几何级数之和。因此,（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在nn1时有值，在nn1时x(n)=0。其Z变换为,(1-59),此式右端第一项为有限长序列的Z变换，按上面讨论可知,它的收敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此，综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为Rx-|z|右边序列及其收敛域如图1-23所示。,图1-23右边序列及其收敛域（n1n2时x(n)=0，其Z变换为,等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为,如果n20，则式（1-61）右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0，即|z|Rx+。,例1-8x(n)=-anu(-n-1),求其Z变换及收敛域。解这是一个左边序列。其Z变换为,此等比级数在|a-1z|1，即|z|Rx-;第二项为左边序列，其收敛域为|z|Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的(z)值，因此就不存在Z变换的解析式，这种变换就没有什么意义。,例1-9x(n)=a|n|,a为实数，求其Z变换及收敛域。解这是一个双边序列，其Z变换为,设,若|a|1，则存在公共收敛域,其序列及收敛域如图1-26所示。若|a|1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数，这种序列如图1-27。序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。,图1-26双边序列及收敛域,图1-27Z变换无收敛域的序列,表1-1几种序列的Z变换,1.4.2Z反变换已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，表示为x(n)=Z-1X(z)Z反变换的一般公式为若,(1-63),则,(1-64),图1-28围线积分路径,证,该积分路径c在半径为R的圆上，即z=RejRx-RRx+则,(1-65),这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此,或,直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上,求Z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求Z反变换的常用方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。,1.围线积分法（留数法）这是求Z反变换的一种有用的分析方法。根据留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有,(1-66),或,(1-67),ResX(z)zn-1,zk表示函数F(z)=X(z)zn-1在极点z=zk上的留数。式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z)在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之和。由式（1-66）及式（1-67），可得,(1-68),将式（1-66）及式（1-67）分别代入式（1-64），可得:,(1-69a),(1-69b),根据具体情况，既可以采用式（1-69a），也可以采用式（1-69b）。例如，如果当n大于某一值时，函数X(z)zn-1在围线的外部可能有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦，而通常选c的内部极点求留数则较简单。如果当n小于某一值时，函数X(z)zn-1在围线的内部可能有多重极点，这时选用c外部的极点求留数就方便得多。,现在来讨论如何求X(z)zn-1在任一极点zr处的留数。设zr是X(z)zn-1的单一（一阶）极点，则有,(1-70),如果zr是X(z)zn-1的多重极点，如l阶极点，则有,(1-71),例1-10已知,求Z反变换。,解,围线c以内包含极点a，如图1-29粗线所示。当n|a|,式中，a是单阶极点。应用公式(1-70)，则,在z=0处有一个-n阶极点（n0），应用公式(1-71)，则,因此,即,这个指数因果序列是单阶极点的反变换，这个反变换是很典型的，在以下的部分分式中还要用到这个结果。实际上，由于收敛域在函数极点以外，并且包括点，因此可以知道该序列一定是因果序列。用留数法计算的结果也证实了这一点。所以，在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n0时围线c内无极点；而n0时只在z=0处有一个-n阶极点。因此,即,上例中，在n2，则X(z)的零极点如图1-31所示。由收敛域可知x(n)是一个右边序列。因为极点全部是一阶的，因此X(z)能表示为:由,用式（1-76）求得系数为:,因此X(z)为,根据表1-1可得,或表示为,例1-13在这个例子中要考虑例1-12中给出的X(z)所对应的全部可能序列。,解根据图1-31的零极点图和收敛域性质，X(z)有三种不同的收敛域：（1）|z|2,如例1-12,情况1已经证明是一个右边序列。(2),情况2对应于一个左边序列。(3),情况3则对应于一个双边序列。,因为X(z)的部分分式展开仅决定于X(z)的代数式，所以对所有三种情况都是一样的。针对X(z)的三种不同的收敛域，根据表1-1可得：情况1：,情况2：,情况3：,3.幂级数展开法（长除法）因为x(n)的Z变换定义为z-1的幂级数，即,所以只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。把X(z)展成幂级数的方法很多。例如，直接将X(z)展开成幂级数形式；当X(z)是log,sin,cos,sinh等函数时，可利用已知的幂级数展开式将其展成幂级数形式；当X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式时，可利用长除法，即用分子多项式除以分母多项式得到幂级数展开式。,例1-14若X(z)为,求Z反变换。解直接将X(z)展开成,凭观察，x(n)就是,或者写成,例1-15若X(z)为X(z)=lg(1+az-1)|z|a|求Z反变换。解利用lg(1+x)，且|x|1的幂级数展开式，可得,所以,显然,例1-16若X(z)为,求Z反变换。解X(z)在z=-a处有一极点，收敛域在极点所在圆以外，序列应该是因果序列，X(z)应展成z的降幂次级数，所以可按降幂顺次长除有,所以,则,例1-17若X(z)为,求Z反变换。解X(z)在z=a处有一极点，收敛域在极点所在圆以内，序列应该是左边序列，X(z)应展成z的升幂次级数，因此应按升幂顺次长除有,故,则,从上面两例可以看出，长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数，这完全取决于收敛域。所以在进行长除以前，一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列，然后才能正确地决定是按升幂长除，还是按降幂长除。如果收敛域是|z|Rx+，则x(n)必然是左边序列，此时应将X(z)展开成z的正幂级数，为此，X(z)的分子分母应按z的升幂（或z-1的降幂）排列。,1.4.3Z变换的性质,1.线性Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有:,Zx(n)=X(z)Rx-|z|Rx+Zy(n)=Y(z)Ry-|z|Ry+那么对于任意常数a、b，Z变换都能满足以下等式：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)-0。实际上，由于x(n)是n0的有限长序列，故收敛域是除了|z|=0外的全部Z平面。实际上，上一小节讲Z反变换时，其中的部分分式分解法已经使用了Z变换的线性叠加特性。,2.序列的移位,位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。,(1-80),证,3.乘以指数序列（Z域尺度变换）,证,(1-81),例1-19,|z|1,|z|a|,4.X(z)的微分,证,交换求和与求导的次序，则得,所以,例1-20利用X(z)的微分特性求下面序列的Z变换。x(n)=nanu(n)=nanu(n)=nx1(n)解,|z|a|,利用微分特性有,|z|a|,5.复序列的共轭,(1-83),式中，符号“*”表示取共轭复数。,证,6.翻褶序列,(1-84),证,而收敛域为,故可写成,7.初值定理对于因果序列x(n)，即x(n)=0,n0,有,证由于x(n)是因果序列，则有:,8.终值定理设x(n)为因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部极点，除有一个一阶极点可以在z=1处外，其余都在单位圆内，则,(1-86),证利用序列的移位性质可得,再利用x(n)为因果序列可得,分析一下(z-1)X(z)的收敛域。由于X(z)在单位圆上只有在z=1处可能有一阶极点，函数(z-1)X(z)将抵消掉这个z=1处的可能极点，因此(z-1)X(z)的收敛域将包括单位圆，即在1|z|上都收敛，所以可以取z1的极限,由于是X(z)在z=1处的留数，因此终值定理也可用留数表示，即:,(1-87),9.序列卷积（卷积定理）若,则,(1-88),Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。若有极点被抵消，收敛域可扩大。,证,maxRx-,Rh-|z|minRx+,Rh+,在线性时不变系统中，如果输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积;利用卷积定理，通过求出X(z)和H(z)，然后求出乘积X(z)H(z)的Z反变换，从而可得y(n)。这个定理得到广泛应用。,例1-21设x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求y(n)=x(n)*h(n)。,解,所以,其Z反变换为,显然，在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果|b|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，如图1-32所示。,图1-32Y(z)的零极点及收敛域,10.序列乘积（复卷积定理）,若,则,(1-89),式中，c是哑变量V平面上X(v)与Y(z/v)的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线，满足:,将两个不等式相乘即得Z平面的收敛域为,Rx-Ry-|z|Rx+Ry+,V平面收敛域为,(1-90),(1-91),证,由推导过程看出X(v)的收敛域就是X(z)的收敛域，Y(z/v)的收敛域（z/v的区域）就是Y(z)的收敛域（z的区域），从而收敛域亦得到证明。不难证明，由于乘积x(n)y(n)的先后次序可以互调，故X,Y的位置可以互换，故下式同样成立。,Rx-Ry-|z|Rx+Ry+,而此时围线c所在收敛域为,(1-92),复卷积公式可用留数定理求解，但关键在于确定围线所在的收敛域。,(1-93),式中，dk为,在围线c内的全部极点。,若用v=ej,z=ej代入式(1-89)，则可得,显然，上式是X(ej)与Y(ej)的卷积，又称为复卷积。,例1-22设,应用复卷积定理求两序列的乘积即w(n)=x(n)y(n)。,解,利用复卷积公式（1-89）,根据式（1-91），围线c所在的收敛域为max1/3,0|v|min,2|z|或1/3|v|1/6，则,也可以将序列直接相乘验证这个结果。,则,11.帕塞伐（Parseval）定理利用复卷积定理可以得到重要的帕塞伐定理。若有两序列x(n)、y(n)，则有:,X(z)=Zx(n)Rx-|z|Rx+Y(z)=Zy(n)Ry-|z|Ry+它们的收敛域满足以下条件：,Rx-Ry-|z|=1Rx+Ry+,那么,(1-94),式中，“*”表示取复共轭，积分闭合围线c应在X(v)和Y*(1/v)的公共收敛域内，即,证令,w(n)=x(n)y*(n),由于,Zy*(n)=Y*(z*),利用复卷积公式可得,Rx-Ry-|z|Rx+Ry+,由于假设条件中已规定收敛域满足Rx-Ry-11(Z平面单位圆外部）再讨论s的虚轴与z的相角的关系式（1-100b）=0（S平面的实轴）=0（Z平面正实轴）由-/T增至0由-增至0由0增至/T由0增至,可见，由-/T增至/T，对应于由-经0增至，即在Z平面上旋转一周。综上所述，可得结论：Z平面上宽度为2/T的水平带映射到整个Z平面。同样，每当增加一个采样角频率s=2/T，则相应的增加一个2，也即在Z平面上重复旋转一周，如图1-34所示。因此S平面到平面的映射是多值映射。,图1-34S平面与Z平面多值映射关系,有了S平面到Z平面的映射关系，就可以进一步通过理想采样所提供的桥梁，找到连续信号xa(t)本身的拉普拉斯变换Xa(s)与采样序列x(n)的Z变换X(z)之间的关系。将1.2节中的式（1-34）重写如下：,将此式代入到式（1-98），即得X(z)与Xa(s)的关系：,(1-101),1.5.2连续信号的傅氏变换与序列的Z变换我们再看傅氏变换与Z变换的关系，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即s=j，映射到Z平面上正是单位圆z=ejT，将这两个关系代入到式（1-98）可得,(1-102),(1-103),式（1-102）说明：采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换（频谱）。,1.5.3序列的傅氏变换与Z变换从式（1-100b）我们看到，Z平面的角变量直接对应着S平面的频率变量，因此具有频率的意义，称为数字频率，它与模拟域频率的关系是,（1-104）,可以看出数字频率是模拟角频率对采样频率fs的归一化值，它代表了序列值变化的速率，所以它只有相对的时间意义（相对于采样周期T），而没有绝对时间和频率的意义。,将式（1-104）代入式（1-102）可得,(1-105),可见，单位圆上的Z变换是和模拟信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，也称为数字序列的频谱。同时，式（1-105）表明：数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归一化。,因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，根据式（1-54）Z变换的定义，用ej代替z，从而就可以得到序列傅里叶变换的定义为,再根据Z反变换的公式（1-64），并将积分围线取在单位圆上就可得到序列的傅里叶反变换公式,这个公式成立的条件是X(z)在单位圆上必须收敛，也即序列x(n)必须绝对可积。这样序列的傅里叶变换归结为,正变换,(1-106),反变换,(1-107),其收敛条件为,(1-108),绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件。也就是说，若序列x(n)绝对可和，则它的傅里叶变换一定存在且连续。,图1-35序列及其傅里叶变换,表1-3序列傅里叶变换的主要性质,表1-3序列傅里叶变换的主要性质,表1-4傅里叶变换对,1.6离散时间系统的频域分析（域和Z域）,在1.3节中已经讨论过，在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为,对等式两端取Z变换，得,则,(1-109),我们把H(z)定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换，即,(1-110),在单位圆上(z=ej)的系统函数就是系统的频率响应H(ej)。,(1-111),1.6.1因果系统单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统，因此由1.4.1节可知因果系统的系统函数H(z)具有包括z=点的收敛域，即,(1-112),1.6.2稳定系统由1.3节中的讨论已知，一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝对可和条件，即,而Z变换的收敛域由满足的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ej)存在。,1.6.3因果稳定系统因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，即,(1-113),也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。,1.6.4系统函数和差分方程的关系1.3节中已说明，一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示，其N阶常系数线性差分方程的一般形式为,若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z变换，利用Z变换的线性特性和移位特性可得,这样就得到系统函数为,（1-114）,由此看出系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。式（1-114）是两个z-1的多项式之比，将其分别进行因式分解，可得,（1-115）,式中，z=ck是H(z)的零点，z=dk是H(z)的极点，它们都由差分方程的系数ak和bk决定。因此，除了比例常数b0/a0以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。但是式（1-114）（或式（1-115）并没有给定H(z)的收敛域，因而可代表不同的系统。这在前面我们说过，差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的。同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以必须同时给定系统的收敛域才行。而对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在Z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。,例1-23已知系统函数为,2|z|,求系统的单位脉冲响应及系统性质。解系统函数H(z)有两个极点z1=0.5,z2=2。从收敛域看，收敛域包括点，因此系统一定是因果系统。但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。,由于2nu(n)项是发散的，可见系统确实是不稳定的。,例1-24系统函数不变，但收敛域不同。,求系统的单位脉冲响应及系统性质。解收敛域包括单位圆但不包括点，因此系统是稳定的但是非因果的。由系统函数的Z反变换可得,由于存在2nu(-n-1)项，因此系统是非因果的。,1.6.5有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）在1.4.2节里讨论了用部分分式展开技术求Z反变换的方法。对于一个N阶的系统函数，它的一般表示式（同式（1-114）为,该系统函数是z-1的有理函数，如果它仅仅具有一阶极点，那么它通常可以展开成如下形式:,(1-116),前面一个和式是通过长除法得到的，只有在MN时才存在。后一和式中的系数Ak由式（1-76）确定。如假设系统是因果的，则H(z)的收敛域必须是在所有极点的外侧。H(z)对应的单位脉冲响应为,(1-117),在线性时不变系统中，分成两类不同的系统：若系统的单位脉冲响应延伸到无穷长，称之为“无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。若系统的单位脉冲响应是一个有限长序列，称之为“有限长单位脉冲响应系统”，简称为