高等代数试题二次型

第五章 二次型一、单项选择题1.(6.2)下列二次型正惯性指数等于2的是( )A: B: C: D: 2.(6.3)下列矩阵合同于单位矩阵( )A: B: C: D: 3.(6.4)下列二次型属于正定的是( )A: B: C: D: 4.(6.1)与二次型相对应的实对称矩阵是( )A: B: C: D: 5.(6.4) n阶实对称矩阵正定的充要条件是( )A: A的主对角线上元素全大于零B: A的所有元素都大于零C:A的所有主子式都大于零6.(6.4)如果任意代入实二次型中都有则是( )A:正定B:负定C:不是正定D:不一定正定,7.(6.1)设二次型，则这个二次型应是( )A: B: C: D: 答案：1、B; 2、C; 3、C; 4、B; 5、C; 6、D; 7、B;二、判断题1.(6.1)(1) 是二次型。( )(2) 为阶对称矩阵，且对任意维向量，都有则。( )(3) 为阶反对称矩阵，当且仅当对任意维向量，都有。( )(4) 设，为阶对称矩阵，若存在阶矩阵，使则与合同。( )答案：(1) (2) (3) (4) 2.(6.2)(1) 数域上任意一个对称矩阵都合同于一个对角形矩阵。( )(2) 数域上，两个阶矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( )(3) 二次型的秩等于它的标准形中不为零的平方项的个数。( )(4) 二次型的标准形中平方项的个数，与所作的非退化线性替换有关。( )(5) 两个对称矩阵一定合同( )答案：(1) (2) (3) (4) 3.(6.2)(1) 复数域上两个阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( )(2) 实数域上两个阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( )(3) 矩阵与矩阵在复数域上不合同。( )(4) 矩阵与矩阵在实数域上不合同。( )(5) 对称矩阵的秩和符号差具有相同的奇偶性。( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) 4.(6.4)(1) 实二次型正定当且仅当正定。( )(2) 实二次型正定当且仅当。(为正惯性指数为它的秩)( )(3) 实二次型正定当且仅当它的正惯性指数。(为二次型秩) ( )(4) 二次型的主子式全大于零则正定。( )(5) 正定矩阵的各阶主子式均大于0。( )(6) 正定矩阵合同于单位矩阵。( )(7) 实二次型负定当且仅当，。(为正惯性指数为它的秩) ( )(8) 实二次型负定，则它的矩阵的偶数阶顺序主子式全小于零。 ( )(9) 实二次型负定，则它的矩阵的奇数顺序主子式全大于零。( )(10) 实二次型半负定当且仅当。(为正惯性指数) ( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 5.(6.4) 下列二次型是否正定(1) ( )(2) ( )(3) ( )(4) ( )(5) ( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) 6.(6.2) (1) 若数域上二次型与等价则与的秩相等反之成立吗？( )(2) 若与合同则，反之如何？( )(3) 对称矩阵只能与对称矩阵合同。( )(4) 两个二次型相等当且仅当它们的矩阵相等。( )答案：(1) (2) (3) (4) 7.(6.2)(1) 设实矩阵则，都是对称矩阵。 ( )(2) 若为反对称矩阵则是对称矩阵。( )(3) 若可逆对称矩阵则与合同。( )(4) 若为实阶可逆矩阵与合同，则必为偶数。( )(5) 令如果与合同，与合同，则与合同。 ( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) 8.(6.4)(1) 正定矩阵与单位矩阵合同，负定矩阵合同。( )(2) 如果二次型的各项系数都大于零，则是正定二次型。( )(3) 正定矩阵只能与正定矩阵合同。( )(4) 若为实对称，实可逆，则与的正定性一致的。( )答案：(1) (2) (3) (4) 9.(6.4)(1) ，为阶正定矩阵，也是正定的矩阵。( )(2) ，正定，则也正定。( )(3) 为正定矩阵，则对任意正整数，也是正定的。( )(4) 正定对称矩阵的主对角线上元素都是正的。( )答案：(1) (2) (3) (4) 10.(6.4)(1) 设为正定矩阵，为实数可逆方阵，则是正定的。( )(2) 设，是阶正定矩阵，当正定时。( )(3) 设的主对角线上一个元素，则不是正定矩阵。( )答案：(1) (2) (3) 二、填空题1.(6.2)实二次型的正惯性指数为负惯性指数为。秩为符号差为(1) 已知，则 ， (2) 已知，则 (3) 已知，则 ， (4) 已知，则 ， (5) 已知，则 ， (6) 已知，则 ， 答案：(1) ，(2)(3)，(4)，(5) ，(6) ，2.(6.1)(1) 二次型的矩阵 。(2) 的矩阵为 。(3) 的矩阵 。(4) 的矩阵 。(5) 的矩阵 。答案：(1)(2)(3)(4)(5)3.(6.1)(1) 写出实对称矩阵所决定的二次型 。(2) 写出所决定的二次型 。答案：(1) (2) 4.(6.1)两个复二次型等价充分必要条件是 。答案：秩相等5.(6.1)两个实二次型等价充分必要条件是 。答案：秩相等，正惯性指数相同。三、计算题1.(6.2)已知二次型试对它作如下非退化线性替换。(1)(2) (3) 解：(1)(2) 方法同(1)得(3) 方法同(1)得2.(6.2)用配方法化下列二次型为标准形。(1) (2) (3) (4) (5) 解：(1) 二次型 所以(2) 同样方法可求得 (3) 二次型故(4) 同(1)的方法得(5) 同样方法得3.(6.2)用合同变换化二次型为标准形，并写出相应的可逆矩阵。(1) (2) (3) (4) 解：(1)二次型矩阵故 相应的可逆矩阵为(2) 同样方法可得(3) (4) 4.(6.2)用可逆线性变换化下列二次型为标准形。(1) (2) 解：(1) 作如下线性替换得(2) 得5.(6.2)求把二次型化为二次型的非退化线性替换。解：二次型的矩阵二次型的矩阵则有6.(6.3)在复数域中化下列二次型为规范形并写出相应线性变换。(1) (2) 解：(1) 则则(2) 同样可得7.(6.3)在实数域中化二次型为规范形并写出相应线性替换。(1) (2) (3) 解：(1)实二次型的矩阵为由合同变换可求得则 (2) 同样方法可得(3) 同样方法可得8.(6.3)求下列二次型的秩与符号差。(1) (2) (3) (4) 解：(1) 二次型矩阵对进行合同变换化为对角形(2) 同样方法可得的秩为3，符号差1(3) 同样方法可得的秩为4，符号差0(4) 同样方法可得的秩为3，符号差19.(6.3)求下列二次型的秩与符号差(1) (2) 解：(1) 作非退化线性替换则故二次型秩为2n，符号差为0。(2) 用同样方法可得秩为2n，符号差为0。10.(6.4)t取什么值时下列二次型为正定二次型(1) (2) (3) 解：(1) 二次型矩阵(2) (3)无论t取何值时，二次型都不是正定的11.(6.4)求的值，使二次型为正定。解：二次型的矩阵秩为12.(6.4)判断下列二次型是否正定(1)(2) (3) 解：(1) 二次型的矩阵为的任意阶顺序主子式(2) 二次型矩阵的任意阶顺序主子式(3) 同样方法知(3)也为正定二次型四、证明题1.(6.2)证明：秩等于的对称矩阵可表示成个秩为1对称矩阵和。证：设为阶对称矩阵且秩等于，则存在可逆矩阵，使得，故，其中，即且的秩等于1,又是对称矩阵2.(6.2)令,如果与合同，与合同，则与合同。证：如果与合同，所以所以(是可逆矩阵)；与合同，有 (是可逆矩阵)，作矩阵,显然可逆，而故与合同。3.(6.2)求证：非零反对称矩阵合同于下列形式的矩阵证：用数学归纳法当时，故与合同。假设时结论成立，今考察时的情形，这时如果最后一行(列)元素全为零，则由归纳假设结论已经成立，不然经过行列的同时对换，可设，最后一行和最后一列都乘以则化成，再利用1，-1将最后；两行两列的其他元素化成零，则又化成由归纳假设知与合同，从而合同于矩阵再将最后两行和两列交换到前面去，便知结论对级矩阵也成立，从而对于任意级数的反对称矩阵结论成立。4.(6.4)设是一对称矩阵，且证明：存在，使，其中*表示一个阶数与相同的矩阵。证：令因为,所以5.(6.2)设是阶对称矩阵，的秩是证明：存在秩为的对称矩阵，使。证：据题设可知，的合同标准形是，则存在可逆矩阵使，对来说，显然有秩为的矩阵，使，于是，所以，从而。令，因为是可逆的，与的秩相等，而且是对称的，所以是秩为的对称矩阵，而且。6.(6.2)在实数域上，将相互合同的阶对称矩阵放在一起组成一个合同类，问一共有多少个合同类？解：元实二次型的秩有种可能：，而秩为的实二次型的正惯性指数有种可能：因此元实二次型按合同关系分类的情况如下表秩 数0123正惯性指 数00,10,1,20,1,2,3合 同类 数12324因此元实二次型的合同总数为7.(6.2)证明：与在复数域上合同，但在实数域上不同证：复数域上两对称矩阵合同秩相同与秩相同它们合同又实数域上两个对称矩阵合同秩相同，符号差相同而与秩相等，但符号差不同不合同8.(6.2)证明：实二次型的秩和符号差均与无关证：实二次型的矩阵为因为与合同，而秩符号差与无关的秩符号差与无关9.(6.2)证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1。证：必要性：设若与成比例，设，且，则可对进行非退化线性替换化成，此时的秩为1。若与不成比例，不妨设与不成比例，从而，则可对连续进行下列非退化线性替换及，即此时的秩为2且符号差为0。必要性：设的秩为2，符号差为0，则可通过非退化线性替换，化为由，即可由线性表示，代入上式，即知是的两个一次齐次式的乘积若的秩为1，则的规范形为，根据同样道理知，结论成立。10.(6.4)证明：实二次型是正定的当且仅当且。证：二次型矩阵11.(6.4)设为正定矩阵是的级顺序主子式。证明：并且等式成立的充分必要条件是证：而两边取行列式12.(6.4)如果是正定矩阵，那么，那么当且仅当为对角线形时等号成立。证：用归纳法假设阶时成立看阶矩阵经合同变换其中为阶方阵有为阶正定矩阵，由归纳假设又13.(6.4)如果是级实可逆矩阵，那么证：为正定。而的主对角线上元素为，由上题14.(6.4)设其中为阶正定方阵，为维实列向量，为实数。证明：为正定矩阵的充分必要条件是证：正定正定是由经合同变换而得到的。15.(6.4)设实矩阵实向量证明：齐次线性方程但只有零解是正定矩阵。证：必要性若是任意非零实列向量，则又为实对矩阵是半正定的下面证反证法，若则齐次线性方程组有非零解 设有于是从而与只有零解矛盾。故 故正定充分性正定对任意非零实向量，都有若有非零解，则，这正定矛盾只有零解16.(6.3)设是一个阶实对称矩阵，且。证明：必存在实维向量使。证：存在非退化线性替换使其中,由必定有令由有唯一的非零解使即存在使17.(6.3)设是一实二次型，若有实维向量使用使，。证明：必存在维向量使。证：设作非退化线性替换有维向量使则不是半负定正惯性指数有维向量使用则不是半负定负惯性指数于是的规范形中至少有一项为正1，设系数为1。至少有一项为-1，设系数为-1。代入得使18.(6.4)证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证：必要性有反证法若正惯性指数秩则(不可能大于)则即令，可得非零解使与已知条件矛盾 故充分性正惯性指数秩有19.(6.4)证明：是半正定的。证：由此看到(1)当不全相等时(2) 当时按定义二次型是半正定的。20.(6.4)证明：如果是正定矩阵，那么的主子式全大于零。所谓主子式就是行指标和列指标相同的子式。证：设正定二次型并令，则得新二次型是正定的故的级主子式主子式全大于零21.(6.4)设是实对称矩阵。证明：实数充分大之后，是正定矩阵。证：实对称为实对称设的阶顺序主子式为当充分大时，即使令为所有中最大的，则可使的所有顺序主子式都大于0正定22.(6.1)设实二次型证明：的秩等于矩阵的秩证：二次型的矩阵二次型的秩等于的秩23.(6.2)设是一对称矩阵，且。证明：存在使其中表示一级数与相同的矩阵。证：,有而 24.(6.2)设是阶实对称矩阵。证明：存在一正实数使对任一个实维向量都有。证：令则利用即其中25.(6.4)证明：如果是正定二次型那么是负定二次型证：设则有两边取行列式正定正定且故正定是负定的26.(6.4)证明：实二次型是半正定是充分必要条件是存在可逆实矩阵使其中证：实对称可逆实矩阵使半负定半负定27.(6.4)实对称矩阵半