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轴向拉伸与压缩,第二章轴向拉伸和压缩,2-1轴向拉伸和压缩的概念,第二章轴向拉伸和压缩,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。,屋架结构简图,桁架的示意图,受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆,第二章轴向拉伸和压缩,二、变形特点沿轴向伸长或缩短,一、受力特点外力的合力作用线与杆的轴线重合,三、计算简图,轴向压缩,轴向拉伸,2-2内力截面法及轴力图,材料力学中所研究的内力物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。,1.内力,根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。,通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力,第二章轴向拉伸和压缩,设一等直杆在两端轴向拉力F的作用下处于平衡,欲求杆件横截面mm上的内力.,我们来共同学习求解横截面内力的方法,截面法,在求内力的截面m-m处,假想地将杆截为两部分.,取左部分部分作为研究对象.弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替,合力为FN.,2.截面法,（1）截开,（2）代替,对研究对象列平衡方程,FN=F,式中：FN为杆件任一横截面mm上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力,（3）平衡,3.轴力符号的规定,m,F,F,（1）若轴力的指向背离截面，则规定为正的,称为拉力,（2）若轴力的指向指向截面，则规定为负的,称为压力,4、轴力图,用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图.将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧.,例题2-1试作此杆的轴力图。,等直杆的受力示意图,第二章轴向拉伸和压缩,(a),为求轴力方便，先求出约束力FR=10kN,为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴力为拉力，得FN1=10kN(拉力),解：,第二章轴向拉伸和压缩,为方便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。,FN2=50kN(拉力),FN3=-5kN（压力），同理，FN4=20kN(拉力),第二章轴向拉伸和压缩,轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。,第二章轴向拉伸和压缩,画轴力图步骤,1、分析外力的个数及其作用点；,2、利用外力的作用点将杆件分段；,3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力；,4、做轴力图；,5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生拉伸变形,画轴力图注意事项,1、两个力的作用点之间轴力为常量；,2、轴力只随外力的变化而变化；,与材料变化，截面变化均无关；,3、只有沿轴线方向的外力才产生轴力；,4、x轴永远与轴线平行，且用外力的作用点将x轴分段；,5、每一次求内力时必须严格用截面法；,且在整个杆件上分二留一；,复习题：作图示杆件的轴力图，并指出|FN|max,|FN|max=100kN,FN2=-100kN,FN1=50kN,复习题：作图示杆的轴力图。,FN,x,2kN,3kN,5kN,1kN,例题：试作此杆的轴力图。,解：,第二章轴向拉伸和压缩,第二章轴向拉伸和压缩,第二章轴向拉伸和压缩,要判断某个截面的强度是否足够，不仅要知道该截面上的内力，还必须了解内力在截面上的分布规律。从直观上来说，同样的内力分布在较大的截面积上相对要安全。根据材料的连续均匀性假设，内力在截面上是连续分布的。内力在截面上各点分布的强弱或密集程度，即内力的集度，称为应力。,2-3应力拉(压)杆内的应力,.应力的概念,受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度即平均应力，其方向和大小一般而言，随所取A的大小而不同。,第二章轴向拉伸和压缩,该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。,第二章轴向拉伸和压缩,总应力p,法向分量,正应力s,某一截面上法向分布内力在某一点处的集度,切向分量,切应力t,某一截面上切向分布内力在某一点处的集度,应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。,第二章轴向拉伸和压缩,.拉(压)杆横截面上的应力,第二章轴向拉伸和压缩,1、变形现象,（1）横向线ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线;,（2）ab和cd分别平行移至ab和cd,且伸长量相等.,结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同.,2.平面假设变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，且仍垂直于轴线.,3.内力的分布,FN,均匀分布,式中，FN为轴力，A为杆的横截面面积，的符号与轴力FN的符号相同.,当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力；,当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力.,4.正应力公式,例题2-2试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。,第二章轴向拉伸和压缩,段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为smax=s2=-1.1MPa(压应力）,解：段柱横截面上的正应力,(压应力),(压应力),第二章轴向拉伸和压缩,例2-3：作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。,例2-4：图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。,45,2、计算各杆件的应力。,.拉(压)杆斜截面上的应力,第二章轴向拉伸和压缩,1.斜截面上的应力,以p表示斜截面k-k上的应力，于是有,沿截面法线方向的正应力,沿截面切线方向的剪应力,将应力p分解为两个分量：,p,（1）角,2.符号的规定,（3）切应力对研究对象任一点取矩,p,思考：1.写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。,2.拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？,第二章轴向拉伸和压缩,（1）当=0时，,（2）当=45时，,（3）当=-45时，,（4）当=90时，,讨论,例2-6直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。,2-4拉(压)杆的变形胡克定律,拉(压)杆的纵向变形,基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：,纵向总变形l=l1-l（反映绝对变形量）,纵向线应变（反映变形程度）,第二章轴向拉伸和压缩,横向变形与杆轴垂直方向的变形,在基本情况下,第二章轴向拉伸和压缩,引进比例常数E，且注意到F=FN，有,胡克定律(Hookeslaw),适用于拉(压)杆。,式中：E称为弹性模量(modulusofelasticity)，由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA杆的拉伸(压缩)刚度。,胡克定律(Hookeslaw),工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力,第二章轴向拉伸和压缩,胡克定律的另一表达形式：,单轴应力状态下的胡克定律,第二章轴向拉伸和压缩,低碳钢(Q235)：,低碳钢(Q235)：n=0.240.28。,亦即,横向变形因数(泊松比)(Poissonsratio),单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e与和该方向垂直的方向(横向)的线应变e的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poissonsratio)：,第二章轴向拉伸和压缩,2.横截面B,C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？,思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。,1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。,第二章轴向拉伸和压缩,第二章轴向拉伸和压缩,位移：,变形：,3.图(b)所示杆，其各段的纵向总变形以及整个杆的纵向总变形与图(a)的变形有无不同？各横截面及端面的纵向位移与图(a)所示杆的有无不同？何故？,第二章轴向拉伸和压缩,(a),第二章轴向拉伸和压缩,位移：,变形：,2-5材料在拉伸和压缩时的力学性能,.材料的拉伸和压缩试验,拉伸试样,圆截面试样：l=10d或l=5d(工作段长度称为标距)。,矩形截面试样：或。,第二章轴向拉伸和压缩,试验设备：,(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。,(2)变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。,压缩试样,圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能),正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能),第二章轴向拉伸和压缩,实验装置（万能试验机）,第二章轴向拉伸和压缩,.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能,拉伸图,纵坐标试样的抗力F(通常称为荷载),横坐标试样工作段的伸长量,第二章轴向拉伸和压缩,低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：,(1)阶段弹性阶段变形完全是弹性的，且l与F成线性关系，即此时材料的力学行为符合胡克定律。,第二章轴向拉伸和压缩,(2)阶段屈服阶段,在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。,此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45的滑移线(，当=45时a的绝对值最大)。,第二章轴向拉伸和压缩,(3)阶段强化阶段,第二章轴向拉伸和压缩,卸载及再加载规律,若在强化阶段卸载，则卸载过程中Fl关系为直线。可见在强化阶段中，l=le+lp。,卸载后立即再加载时，Fl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。,第二章轴向拉伸和压缩,(4)阶段局部变形阶段试样上出现局部收缩颈缩，并导致断裂。,第二章轴向拉伸和压缩,低碳钢的应力应变曲线(se曲线),为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即，其中：A试样横截面的原面积，l试样工作段的原长。,第二章轴向拉伸和压缩,低碳钢se曲线上的特征点：,比例极限sp(proportionallimit),弹性极限se(elasticlimit),屈服极限ss(屈服的低限)(yieldlimit),强度极限sb(拉伸强度)(ultimatestrength),Q235钢的主要强度指标：ss=240MPa，sb=390MPa,第二章轴向拉伸和压缩,低碳钢拉伸破坏,第二章轴向拉伸和压缩,低碳钢拉伸试件,低碳钢拉伸破坏断口,第二章轴向拉伸和压缩,低碳钢的塑性指标：,伸长率,断面收缩率：,A1断口处最小横截面面积。,Q235钢：y60%,第二章轴向拉伸和压缩,.其他金属材料在拉伸时的力学性能,第二章轴向拉伸和压缩,由se曲线可见：,第二章轴向拉伸和压缩,sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度),用于无屈服阶段的塑性材料,第二章轴向拉伸和压缩,割线弹性模量,用于基本上无线弹性阶段的脆性材料,脆性材料拉伸时的唯一强度指标：,sb基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。,第二章轴向拉伸和压缩,铸铁拉伸时的应力应变曲线,铸铁拉伸破坏断口,第二章轴向拉伸和压缩,.金属材料在压缩时的力学性能,低碳钢拉、压时的ss基本相同。,低碳钢压缩时s-e的曲线,第二章轴向拉伸和压缩,低碳钢材料轴向压缩时的试验现象,第二章轴向拉伸和压缩,铸铁压缩时的sb和d均比拉伸时大得多；,不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。,灰口铸铁压缩时的se曲线,第二章轴向拉伸和压缩,试样沿着与横截面大致成5055的斜截面发生错动而破坏。,材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。,第二章轴向拉伸和压缩,铸铁压缩破坏断口：,第二章轴向拉伸和压缩,铸铁压缩破坏,.几种非金属材料的力学性能,(1)混凝土压缩时的力学性能,使用标准立方体试块测定,第二章轴向拉伸和压缩,压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以se曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。,混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20MPa的混凝土。,压缩强度远大于拉伸强度。,第二章轴向拉伸和压缩,木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交各向异性材料。,松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的se曲线如图。,(2)木材拉伸和压缩时的力学性能,木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。,第二章轴向拉伸和压缩,2-6强度条件安全因数许用应力,1.拉(压)杆的强度条件,强度条件保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：,其中：smax拉(压)杆的最大工作应力，s材料拉伸(压缩)时的许用应力。,第二章轴向拉伸和压缩,2.材料的拉、压许用应力,塑性材料：,脆性材料：许用拉应力,其中，ns对应于屈服极限的安全因数,其中，nb对应于拉、压强度的安全因数,第二章轴向拉伸和压缩,常用材料的许用应力约值(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）,轴向拉伸,轴向压缩,3.强度计算的三种类型,(2)截面选择已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。,(3)计算许可荷载已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而