北师大版初二数学上第一章讲义(适于家教上课).doc

八年级数学（上册） 第一章 勾股定理 第一节 探索勾股定理第二节 能得到直角三角形吗第三节蚂蚁怎样走最近第一节问题1：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？问题2：如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理 （gou-gu theorem）如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 探究活动议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2 +b2=c2简单应用 例1 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处. 大树在折断之前高多少米？解：设大树在折断之前高为xm,由勾股定理得：(x-9)2=92+122 解得：x=24答：大树在折断之前高为24米。例2 如图，一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？ 解： 由勾股定理得： OB2=AB2-AO2=252-242 解得：OB=7 OD2=CD2-CO2=252-(24-4)2 解得：OD2=225 所以OD=15 OD-OB=8m4m 答：梯子低端B外移大于4m。巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度： 拓展练习1、 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 2、如图，在一个高为3米， 长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米。请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形. 方法一：ab - aaaaabbbbcccc a+b =c方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理. 验证方法二 a+b =c你还有其他的方法吗？下来继续研究喔！？方法三美国第二十任总统伽菲尔德的证法：巩固练习1、 判断（1）若直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边长为5cm。 （ ）（2）在直角三角形ABC中，a2+b2=c2。 （ ）2、 选择（1）以面积为9m2正方形的对角线为边作一个正方形，其面积为（ ）（A）9m2 (B)13m2 (C)18m2 (D)24m2（2）在RtABC中，若斜边，则 （ ） （A）2 （B）4 （C）8 （D）16(3). 把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边（ ）A. 扩大到原来的2倍 B. 扩大到原来的4倍 C. 不变 D. 减少到原来的2倍3、解答：如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长 第二节 能得到直角三角形吗同学你知道古埃及人用什么方法得到直角? 古埃及人曾用下面的方法得到直角:用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股四弦五才能得到直角三角形呢？巩固提高1.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2， DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？易知:ABE，DEF，FCB均为Rt 由勾股定理知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25 BE2+EF2=BF2 BEF是Rt 2/如图，已知等腰ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求ABC的周长.DB CAC 第三节蚂蚁怎样走最近在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ BA 怎样计算AB？BAArOh B食物A在RtAAB中，利用勾股定理可得，其中A是圆柱体的高,AB是底面圆周长的一半(r)举一反三如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？ 练习题1、若直角三角形两直角边长分别为3、4，则以斜边为直径的圆的面积为 。2、若直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则其周长为 。3、若三角形的三边长分别为9cm、12cm、15cm，则长为15cm的边上的高为 cm。4、在RtABC中，C=90，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为 。5、A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短， 请在图上画出车站的位置，并说明为什么； 求这个最小的路程和。6、如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将纸片折叠，使点A与点C重合，求折痕EF长。第一章测试题一、选择题：（每小题4分，共32分）1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A2，3，4 B10，8，4 C7，25，24 D7，15，122、已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A25 B14 C7D7或253、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（ ）A9 cm2 B13 cm2 C18 cm2 D24 cm24、如图，直角ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（ ） A6 B8 C10 D125、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ）A4米 B6米 C8米 D10米6、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（ ）A5h12 B5h24C11h12D12h247、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A6cm2B8cm2C10cm2D12cm2二、填空题（每小题3分，共21分）9、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则X的长为 厘米。10、如图，从电线杆离地面米处向地面拉一条长米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为 米。11、如图，在等腰直角ABC中，AD是斜边BC上的高，AB=8，则AD= 。12、小华和小红都从同一点出发，小华向北走了米到点，小红向东走了米到了点，则米。13、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米。15、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是。三、解答题：（共47分）16、（9分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为多少.？18、（9分）有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它几秒能赶回巢中？19、（10分） 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出BD的长吗？20、（10分）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站