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注意：亦可利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵.,事实上：因为,所以,2、利用矩阵的初等行变求解矩阵方程.,事实上，对于,若A可逆，则有,对应于：,即,例3.设AX=B,求X.其中,解若,可逆，则,所以,同理亦可求解矩阵方程,若,可逆，则有,即,例4.设A的伴随矩阵,且有,求B.,解:在,两边左乘,右乘A，得,即,因为,而,从而有,（*）,故（*）式可改写为,即,所以,第三章小结,矩阵的初等变换与线性方程组,矩阵的初等换,初等方阵,矩阵的秩,线性方程组,矩阵的初等变换,概念,1.对换矩阵的i,j两行（列）.,2.用k0乘矩阵的第i行（列）.,3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去.,性质,1.初等变换不改变矩阵的秩.,2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.,用途,求逆，,求矩阵A的秩、最简型、标准形.,初等方阵,性质,初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.,对Amn矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等方阵.,任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.,概念,对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.,三种初等变换对应三种初等方阵.,矩阵的秩,概念,k阶子式.,秩：矩阵非零子式的最高阶数.,性质,零矩阵的秩为零.,R(A)=R(AT),若B可逆，则R(AB)=R(A).,R(A+B)R(A)+R(B),R(AB)minR(A),R(B),R(AB)R(A)+R(B)-n,若AB=0,则R(A)+R(B)n,线性方程组,有非零解R(A)n.,求解,1.化系数矩阵为最简形.2.找等价的方程组.3.写通解.,有解R(A)=R(B).,求解,1.把增广矩阵B化为最简形.2.找等价的方程组.3.写通解.,Ax=0解的结构,Ax=0有唯一零解R(A)=r=n.,Ax=0有无穷多个非零解R(A)=rn.,其通解可表为：,为方程组的基础解系.,其中,Ax=b解的结构,Ax=b无解R(A)R(B),Ax=b有解R(A)=R(B)=r,1）当r=n时，方程组有唯一解.2）当rn时，方程组有无穷多解.且其通解可表为：,其中,为
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