条件概率的计算公式.pptVIP

概率论与数理统计,1.4条件概率的计算公式,一、条件概率的概念,例1.4.1一只盒子里混有100只新旧乒乓球，各有黄白两色，分类如下：,从盒子中随机取出一个球，若记A=从盒子中随机取出一个球，该球为新球，,若事先知道取出的是黄球，,则上述概率为,记B=从盒子中随机取出一个球，该球为黄球,条件概率的定义,条件概率的性质,例1.4.2某种灯泡用5000小时未坏的概率为，用10000小时未坏的概率为，现有一只这种灯泡已用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？,解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”,我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即,所以AB=A，,这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量较次的灯泡。,二、乘法公式,若，由条件概率定义，可得,上式称为事件概率的乘法公式,它可推广到任意有限个事件,设为任意n个事件，满足,例1.4.3甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。,求：1）两市至少有一市是雨天的概率；2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。,解,例1.4.4有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，7）,解：,设=“第i个人抓到票”，（i=1，2，7）,如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。,这就是说，所以,于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，所以,类似可得,例1.4.5设在一盒子中装有10只球，4只黑球，6只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？,解法一：,用古典概型来做,设A=“两次都拿到白球”，,解法二：,用乘法公式来做，,设B=“第一次拿到白球”，A=“第二次拿到白球”，,AB=“两次都拿到白球”，,三、全概率公式,例1.4.6有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。,在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Ai出现，例如A是由原因Ai所引起，则A发生的概率是,P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi),每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和.“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.,由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。,定理：,设为一列互不相容的事件，且,则对任一事件A，有,证明见书。,上述公式称为全概率公式。,A,B1,B2,B3,Bn,.,全概率公式的来由,不难由上式看出:,“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.,当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)作新的估计.,i=1,2,3,定理：设为一列互不相容的事件，且有，对任意的事件B，则有,这个公式称为贝叶斯公式（逆概公式）。,四、贝叶斯公式（逆概公式）,在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分别称为原因的验前概率和验后概率.,P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计.,练：1.盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，第一次比赛时任取3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3只球。,（1）求第二次取出的全是新球的概率,（2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率。,解：,设=“第一次取出的3只球都是旧球”，,=“第一次取出的3只球中有1只新球”，,=“第一次取出的3只球中有2只新球”，,=“第一次取出的3只球都是新球”，,B=“第二次取出的都是新球”。,2某工厂有1，2，3三个车间，它们生产同一种螺钉，其产量分别占总产量的25%，35%，40%，每个车间的成品中，次品占产品的5%，4%，2%，现从全部螺钉中抽取一个产品，求,（1）它是次品的概率,（2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率,解：,设=“抽到的是i车间的产品”，,B=“抽到的产品是次品”，,3、子弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，大、中、小三种弹片打中坦克的概率分别等于大、中、小三种弹片数量之比1：3：6，若大、中、小三种弹片击中坦克则其击穿坦克的概率分别为0.9,0.2,0.05，求（1）击穿坦克的概率；（2）若已知坦克被击穿，分别是由大、中、小三种弹片击穿的概率。,解：,设B=“坦克被击穿”,表示坦克分别被大、中、小三种弹片击中,（1）两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03，第二台出废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是废品的概率。,（0.027）,（2）播种用的一等