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*范例8.5平均速率和方均根速率,以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速率和方均根速率。分子速率在区间0v的分子数占总分子数的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？,解析利用公式,设x=v/vp，麦克斯韦速率分布函数可表示为,这是无量纲的速率分布函数，归一化系数为,在vv+dv区间内的分子数为dN，总速率为vdN=N0vf(v)dv，速率从0到积分可得全部分子的速率之和。,这个和除以总分子数N0就是所有分子的平均速率,用分部积分法可得,以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速率和方均根速率。分子速率在区间0v的分子数占总分子数的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？,利用函数可简化计算。,函数的定义为,当n为整数时，通过分部积分可直接证明(n)=(n1)!。,利用变量替换，容易证明,当n=4时，可得平均速率,*范例8.5平均速率和方均根速率,所有分子速率平方的平均值为,利用,可得,方均根速率为,对于同一种气体，在相同的温度下，平均速率、方均根速率与最概然速率之比都是常量。,分子的平均平动动能为,分子中的3表示三个自由度，kT/2是所有分子一个自由度的平均平动动能。,温度越高，分子的平均平动动能就越大，表示分子运动越剧烈。,平均速率、方均根速率与最概然速率都能表示分子运动的剧烈程度。,*范例8.5平均速率和方均根速率,分子速率在区间0v的分子数为,利用麦克斯韦无量纲的速率分布函数，上式可表示为,上式还可以继续化简,利用误差函数,这是用误差函数表示的解析式，不妨称为分子数函数。,可得,当积分上限分别取1、,和,时，,由上式即可计算分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例。,*范例8.5平均速率和方均根速率,分子速率小于等于最概然速率的分子数占分子总数的比例是42.8%，分子数小于总分子数的一半。,以最概然速率vp为速率单位，速率分布曲线就只有一条。,任何一段曲线下的面积都表示分子数占总分子数的比例。,而分子速率大于最概然速率的分子占总数的比例是57.2%，分子数大于总分子数的一半。,分子数大于总分子数的一半。当速率大于最概然速率的3倍时，分子数比例就很小了。,当时，N/N0是分子速率小于平均速率的分子数占分子总数的比例，这就是53.31%，分子数越过总分子数的一半。,分子速率在0v之间的分子数占分子总数的比例是v的单调增函数，这是因为v越大，0v之间的分子数就越多。,当时，N/N0是分子速率小于方均根速率的
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