推理规则与证明方法.ppt

推理是由一个或几个判断得出另一个新的判断的思维形式(思维过程)。其中已知的判断前提新的判断结论列出前提H1,H2,Hm与结论C论证逻辑的主要功能是提供推理的规则或论证的原理。从一组给定的前提出发，根据推理规则得到的结论称为有效结论，论证才是有效的。建立逻辑学的主要目的在于探索出这一套完整的规则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。,1.5推理规则与证明方法,设H1,H2,Hm()和都是命题公式。若(H1H2Hm)为永真式，即H1H2Hm，称由前提H1,H2,Hm推出结论C的推理正确(有效)。称为前提H1,H2,Hm的有效结论或逻辑结果。H1H2Hm称为由前提H1,H2,Hm推出结论C的推理的形式结构。,一、推理的基本概念,例1-5-11如果天下雨，小王就不去跑步。今天天下雨，所以小王没去跑步。解：设P：天下雨。Q：小王去跑步。前提：PQ，P结论：Q推理的形式结构为：(PQ)PQ2如果我上街，我一定去新华书店。我没上街，所以我没去新华书店。解：设P：我上街。Q：我去新华书店。前提：PQ，P结论：Q推理的形式结构为：(PQ)PQ,推理的符号化实例,根据定义：由前提H1,H2,Hm推结论C的推理正确(有效)即：(H1H2Hm)为永真式，即H1H2Hm可知，判断推理是否正确的方法就是判断永真式或永真蕴含式的方法。基本方法有：1真值表法2等值演算法3主析取范式法4指派分析法(永真蕴含式),二、基于定义的推理,例1-5-2判断下列推理是否正确：如果天下雨，小王就不去跑步。今天天下雨，所以小王没去跑步。解：设P：天下雨。Q：小王去跑步。前提：PQ，P结论：Q推理的形式结构为：(PQ)PQ判断(PQ)P)Q(*)是否为永真式或(PQ)PQ是否成立。,步骤：先将命题符号化然后写出前提、结论和推理的形式结构最后进行判断,1真值表法,真值表的最后一列全为1，因而(*)是永真式。所以推理正确。,真值表技术：给定一个前提集合和一个结论，用构成真值表的方法，在有限步骤内判定给定前提是否能推导出该结论的这种方法，称为真值表技术。,(PQ)P)Q(PQ)P)Q(PQ)P)Q(PPQ)(QPQ)TTT因而(PQ)P)Q(*)是永真式，推理正确。,2等值演算法,(PQ)P)Q(PQ)P)Q(PQ)PQ(PQ)(P(QQ)(PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(0,1,2,3)因而(*)是永真式，推理正确。,3主析取范式法,即要判断(PQ)PQ证明：假设前件(PQ)P为真，则P为真，且(PQ)为真，所以Q为真。故(PQ)PQ成立，推理正确。,4指派分析法(永真蕴含式),基于定义进行推理的不足：1如果命题公式的变元较多，以上四种方法都不方便。(n个变元，2n种指派)2与自然生活和传统数学中的推理形式无相同之处。3过于机械，对培养推理能力和推理技巧毫无帮助。,形式证明：对由前提H1，H2，Hm推结论C的推理，构造一个描述推理过程的命题公式序列，其中每个命题公式或者是已知的前提，或者是由某些前提应用公认的推理规则所得到的结论，序列中最后一个命题公式是所要求的结论。这样的命题公式序列称为形式证明。形式证明的格式：形式证明是按行进行的，而且每行只能写一个命题公式。一般为：标号部分命题公式说明部分,三、基于规则的推理,推理过程中使用的构造公式序列的规则：规则P（前提引入规则）：在推导的任何步骤上，都可以引入前提。规则T（结论引入规则）：在推导过程中，如果前面有一个或多个命题公式永真蕴含命题公式S，那么就可以把公式S引进推导过程中。代入规则：在推导的任何步骤上，永真式中的任一命题变元都可以用任一命题公式代入，代入后得到的仍是永真式。置换规则：在推导的任何步骤上，命题公式中的任何子公式都可以用与之等值的命题公式置换。常用的推理公式：在表1.2-2中列出的永真蕴含式。在表1.2-1中列出的逻辑等价式。,常用的推理规则,1直接证明法由已知的前提H1,H2,Hm出发，利用一些公认的推理规则，根据已知的逻辑等价式和永真蕴含式，推导出有效结论C。,证明方法,推理：H1H2HmC,2间接证明法将已知的前提和结论进行适当的改造，转化为对新的前提和结论进行推理证明。常用的技巧有：附加前提证明法和反证法。,例1-5-3检验下列推理的有效性。如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么煮熟的鸭子还会跑；煮熟的鸭子不会跑，所以羊不吃草。解：设P：马会飞。Q：羊吃草。R：母鸡是飞鸟。S：煮熟的鸭子会跑则前提为：(PQ)R，RS，S结论为：Q推理的形式结构为：(PQ)R)(RS)(S)Q,1.直接证明法,证明：(1)S规则P(2)RS规则P(3)R(1)(2)拒取式，规则T(4)(PQ)R规则P(5)(PQ)(3)(4)拒取式，规则T(6)PQ(5)德摩根律，替换规则，规则T(7)Q(6)简化式，规则T所以推理正确Q：羊不吃草有效结论，但不是正确的结论。P：马不会飞有效结论，而且是正确的结论。,有效是指结论的推出是合乎推理规则的，并不在于结论是否真实。,第一列是步骤列,将各次操作按先后排序;第二列是断言列或命题公式列,内容可以是前提,中间结论或最终结论;第三列是注释列或根据列,表明所引用的推理规则及与之有关的行的编号.第三列是形式推理的特点与优点.,例1-5-4证明RS是前提CD，CR，DS的有效结论，即证明：(CD)(CR)(DS)(RS)。证明:(1)CD规则P(2)CD(1)蕴含等价式，规则T(3)DS规则P(4)CS(2)(3)前提三段论，规则T(5)CR规则P(6)RC(5)逆反律，规则T(7)RS(4)(6)前提三段论，规则T(8)RS(7)蕴含等价式，规则T,2.间接证明法,附加前提法（CP规则）当待证的有效结论是一个PQ类型的条件命题时，可以将有效结论中的前提P单独提出来加到前提中去，然后证明剩下的后件Q是附加了前提之后的新的一组前提的有效结论。这种附加前提的证明方法称为CP规则。即：H1H2Hm(PQ)的充要条件是H1H2HmPQ。,证明：要证H1H2Hm(PQ)即证(H1H2Hm)(PQ)T同样，要证H1H2HmPQ即证(H1H2HmP)QT而(H1H2Hm)(PQ)(H1H2HmP)Q（输出律）,例1-5-5证明：RP是前提PQ，QR的有效结论。分析：要证明：(PQ)(QR)RP采用附加前提证明法，转化为证明：(PQ)(QR)RP证明：(1)R规则P(附加前提)(2)QR规则P(3)Q(1),(2)拒取式，规则T(4)PQ规则P(5)P(3),(4)拒取式，规则T(6)RPCP规则由CP规则，得：(PQ)(QR)RP,课内练习1-5-1证明推理：P(QR)，Q(RS)P(QS)分析：由CP规则P(QR)，Q(RS)P(QS)等价于P(QR)，Q(RS)，PQS再由CP规则，等价于P(QR)，Q(RS)，P，QS,证明：(1)P规则P(附加前提)(2)P(QR)规则P(3)QR(1),(2)假言推理，规则T(4)Q规则P(附加前提)(5)R(3),(4)假言推理，规则T(6)Q(RS)规则P(7)RS(4)(6）假言推理，规则T(8)S(5),(7)假言推理，规则T(9)P(QS)CP规则由CP规则，有：P(QR)，Q(RS)P(QS),例1-5-6采用附加前提法证明例1-5-4：(CD)(CR)(DS)(RS)。分析：由PQPQ，得RSRS由CP规则，等价于要证明CD，CR，DS，RS证明:(1)R规则P(附加前提)(2)CR规则P(3)C(1),(2)拒取式，规则T(4)CD规则P(5)D(3),(4)析取三段论，规则T(6)DS规则P(7)S(5)，(6)前提三段论，规则T(8)RSCP规则(9)RS(8)蕴含等价式，规则T,CP规则的适用范围：待证的有效结论是PQ或PQ型的命题。,(2)反证法(归谬法)将结论C的否定C做为假设前提推出矛盾的证明方法称为反证法或归谬法。即：H1H2HmC的充要条件是H1H2HmCF。,证明：要证H1H2HmC即证(H1H2Hm)CT同样，要证H1H2HmCF即证(H1H2HmC)FT而(H1H2Hm)C(H1H2Hm)C(H1H2HmC)上式左边是永真式，当且仅当H1H2HmC是永假式。,例1-5-7证明(PQ)是PQ的有效结论。即证：PQ(PQ)分析：用反证法，将(PQ)作为假设前提去证:PQ(PQ)F证明：(1)(PQ)规则P（假设前提）(2)PQ(1)双重否定律，规则T(3)P(2)简化式,，规则T(4)PQ规则P(5)P(4)简化式，规则T(6)PP（矛盾）(3)(5)合取式,，规则T由反证法得：PQ(PQ),设P1,P2,Pn为命题公式H1,H2,Hm中的命题变元。相容：如果对于P1,P2,Pn的某一真值指派，H1H2Hm的真值为，则称命题公