高考数学总复习 第五章 第8讲 数学归纳法课件 理.ppt

第8讲,数学归纳法,1掌握“归纳猜想证明”这一基本思路2了解数学归纳法的基本原理,3能利用数学归纳法证明与自然数有关的命题,1运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可2用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等,条时，第一步检验第一个值n0等于(,),A1,B2,C3,D4,且n1)时，在第二步证明从nk到nk1成立时，左边增加,的项数是(,),A2kB2k1C2k1D2k1,C,A,3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形有对角线数f(n,1)为(,),C,5,Af(n)n1Cf(n)n1,Bf(n)nDf(n)n2,4若不等式2nn21对于nn0的正整数n都成立，则n0的最小值为_.,考点1,对数学归纳法的两个步骤的认识,上述证法(,),A过程全都正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：上述证明过程中，在由nk变化到nk1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设故选D.答案：D,答案：B,【规律方法】用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：n的范围以及递推的起点；观察首末两项的次数(或其他)，确定nk时命题的形式f(k)；从f(k1)和f(k)的差异，寻找由k到k1递推中，左边要加(或乘)的式子.,【互动探究】,1用数学归纳法证明1aa2an,1an1(a1，1a,nN*)时，在验证n1时，左边计算所得的式子是(,),B,A1C1aa2,B1aD1aa2a4,解析：n1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1a.,的,2用数学归纳法证明不等式,11n1n2,113nn24,过程中，由k推导到k1时，不等式左边增加的式子是,.,答案：,n(n1),(an2bnc)对一切正整数n都成立？证明你,考点2,用数学归纳法证明恒等式命题,例2：是否存在常数a，b，c，使等式122232,2,n(n1)12,的结论思维点拨：从特殊入手，探求a，b，c的值，考虑到有3个未知数，先取n1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切nN*，等式都成立,(3n211n,abc24，解：把n1,2,3代入得方程组4a2bc44，9a3bc70，a3，解得b11，c10.,猜想：等式122232n(n1)2,n(n1)12,10)对一切nN*都成立,(3k211k10)，,下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，由上面可知等式成立(2)假设nk时等式成立，即122232k(k1)2,k(k1)12,k(k1),k(k1),则122232k(k1)2(k1)(k2)2,12,(3k211k10)(k1)(k2)2,12,(3k5)(k2)(k1)(k2)2,(k1)(k2)12,k(3k5)12(k2),(k1)(k2)12,3(k1)211(k1)10,当nk1时，等式也成立综合(1)(2)，对nN*等式都成立,【规律方法】这是一个探索性命题，“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.对于探索命题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后进行严密的论证.从特殊入手，探求a，b，c的值，考虑到有3个未知数，先取n1，2，3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切nN*，等式都成立.,，,，左边右边，所以等式成立,【互动探究】,3用数学归纳法证明：当nN*时，,113,135,1n(2n1)(2n1)2n1,.,证明：(1)当n1时，左边,11133,右边,1211,13,k1k1,(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即有,113,135,1(2k1)(2k1),k2k1,，,则当nk1时，,113,135,1(2k1)(2k1),1(2k1)(2k3),k12k1(2k1)(2k3),k(2k3)1(2k1)(2k3),2k23k1(2k1)(2k3),2k32(k1)1,，,所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立,考点3用数学归纳法证明整除性命题,例3：试证：当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64,整除,证明：方法一：(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1时命题也成立根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立,方法二：(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中，得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，当nk1时命题成立根据(1)(2)可知，nN*，命题都成立,【互动探究】,4求证：二项式x2ny2n(nN*)能被xy整除,证明：(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命题成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)，显然x2k2y2k2能被xy整除，即当nk1时命题成立由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立,难点突破,数学归纳法的应用,例题：(2014年广东)设数列an的前n和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式,则Sk357(2k1),3(2k1)2,kk(k2),解：S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.综上所述，a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，当n1时，结论显然成立；假设当nk(k1)时，ak2k1，,