高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第3讲 数列的综合问题课件.ppt

第3讲数列的综合问题,专题四数列、推理与证明,高考真题体验,热点分类突破,高考押题精练,栏目索引,高考真题体验,1,2,1.(2015湖南)已知a0，函数f(x)eaxsinx(x0，).记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点，证明：数列f(xn)是等比数列.证明f(x)aeaxsinxeaxcosx,1,2,令f(x)0，由x0得xm，即xm，mN*，对kN，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)，则f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，则f(x)0.因此，在区间(m1)，m)与(m，m)上，f(x)的符号总相反.,1,2,于是当xm(mN*)时，f(x)取得极值，所以xnn(nN*).此时，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin.,故数列f(xn)是首项为f(x1)ea()sin，公比为ea的等比数列.,1,2,2.(2014课标全国)已知数列an满足a11，an13an1.,1,2,因为当n1时，3n123n1，,考情考向分析,1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.,热点一利用Sn，an的关系式求an,热点分类突破,1.数列an中，an与Sn的关系：,2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.,(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.,(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).,又S1a11，,思维升华,给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.,解得a12或a10(舍去).,因为an0，所以anan10，则anan12，所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列，故an2n.答案an2n,热点二数列与函数、不等式的综合问题,数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.,例2已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式；,解设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.,又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S13122615，所以an6n5(nN*).,所以满足要求的最小正整数为10.,思维升华,解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩.,跟踪演练2(2015安徽)设nN*，xn是曲线yx2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式；解y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1,2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1).,证明由题设和(1)中的计算结果知,热点三数列的实际应用,用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.,例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.,(1)求第n年年初M的价值an的表达式；解当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，故an12010(n1)13010n，当n7时，数列an从a6开始的项构成一个以a61306070为首项，,证明设Sn表示数列an的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得当1n6时，Sn120n5n(n1)，,当n7时，由于S6570，故Sn570(a7a8an),因为an是递减数列，所以An是递减数列.,所以必须在第九年年初对M更新.,思维升华,常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值yN(1p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1r)n.,思维升华,(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1nr).,跟踪演练3某年“十一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是()A.21147B.21257C.21368D.21480,解析由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an42n1，bnn，,则上午11时30分公园内的人数为,答案B,高考押题精练,(1)求数列an和bn的通项公式；,押题依据数列与函数、不等式的综合问题是近几年高考的热点，此类问题要求考生利用函数关系确定数列的特征，在不等式的证明中恰当使用放缩，具有较强的综合性