曲线与方程的概念.ppt

2.1.1曲线与方程的概念,平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质,用坐标系研究图形性质的基本思路是，借助于坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。,求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系,点的横坐标与纵坐标相等,x=y（或x-y=0）,第一、三象限角平分线,得出关系：,（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上,曲线,条件,方程,曲线和方程之间有什么对应关系呢？,让我们回顾一下圆及其方程的意义。如图，以点O为圆心，半径为r(r0)的圆，记作(O,r)，以O为原点建立直角坐标系xOy，我们可以得到圆的方程x2+y2=r2.,上述圆的方程表示的意义是：,（1）设M(x0,y0)是(O,r)上任意一点，则它到圆心O的距离等于r，,因而满足方程，即x2+y2=r2.,这就是说(x0,y0)是此方程的一个解；如果点(x0,y0)不在(O,r)上，则必有，,即有x2+y2r2.(x0,y0)就不会是方程x2+y2=r2的解。,（2）如果(x0,y0)是方程x2+y2=r2的一个解，则可以推得，,即点M(x0,y0)到圆心的距离等于r，点M在(O,r)上；,如果(x0,y0)不是方程x2+y2=r2.的解，则可以推出,即点M(x0,y0)不在(O,r)上。,一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点的轨迹方程。,一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)=0的形式。其中F(x，y)是关于x,y的解析式，例如y=x2可以写成x2y=0的形式。,在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：,(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；,(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.,那么，这个方程叫做曲线的方程；,这条曲线叫做方程的曲线.,思考与推论：,下面两个命题正确吗？（1）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x；,（2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(1，0)，B(1，0)的连线，使AMB为直角的动点轨迹方程是：x2+y2=1.,不正确,不正确,例1.已知曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，则下列命题中正确的是（）(A)满足方程f(x，y)=0的点都在曲线C上(B)方程f(x，y)=0是曲线的方程(C)曲线C是满足方程f(x，y)=0的曲线(D)方程f(x，y)=0的曲线包含曲线C上的任意一点,D,例2.设圆M的方程为(x3)2+(y2)2=2,直线l的方程是x+y3=0，点P的坐标是(2，1)，那么（）(A)点P在直线l上，但不在圆M上(B)点P不在直线l上，但在圆M上(C)点P在直线l上，也在圆M上(D)点P不在直线l上，也不在圆M上,C,例3.已知两圆C1：x2+y2+6x16=0，C2：x2+y24x5=0，,求证：对任一不等于1的实数，方程x2+y2+6x16+(x2+y24x5)=0是通过两圆交点的圆的方程。,证明：方程x2+y2+6x16+(x2+y24x5)=0可以变形为(1+)x2+(1+)y2+(64)x165=0,因为1，得,因为方程中等号右端大于0，所以它是一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知圆的方程，当然也满足这个方程。因此此方程表示的圆通过两圆交点。,课堂练习,1.下列各组方程中表示相同曲线的是（）,(A)(B),(C)(D),D,2.曲线y=x2与x2+y2=5的交点是（）,(2，1)(B)(2，1),(C)(2，1)或(2，5)(D)(2，1)或(2，5),B,3.命题“曲线S上的点的坐标满足方程F(x，y)=0”是正确的，则下列命题正确的一个是（）,(A)方程F(x，y)=0的曲线是S(B)满足方程F(x，y)=0的点都在曲线S上(C)曲线S是方程F(x，y)=0的轨迹(D)方程F(x，y)=0的曲线不一定是S,D,4.经过两圆2x2+2y23x+4y=0与x2+y2+2x+6y6=0的交点的直线方程为。,5.P(m+1，m+4)在曲线y=x2+5x+3上，则m的值为。,7