数据结构第19讲关键路径与最短路径.ppt

第7章图7.1图的定义和术语7.2图的存储结构7.3图的遍历7.4图的连通性问题7.5有向无环图及其应用7.5.1拓扑排序7.5.2关键路径7.6最短路径,7.5.2关键路径,对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题：1）工程能否顺利进行对AOV网进行拓扑排序2）估算整个工程完成所必须的最短时间对AOE网求关键路径,AOE-网,AOE网(ActivityOnEdgeNetwork)：即边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图。其中：顶点表示事件（Event）弧表示活动（Activity）权值表示活动持续的时间通常可用AOE网来估算工程的完成时间。,上图AOE-网中：共有11项活动：a1,a2,a3,a11；共有9个事件：v1,v2,v3,v9，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。,v9表示整个工程的结束,v5表示a4和a5已经完成，a7和a8可以开始,与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间,v1表示整个工程的开始,由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，在正常的情况（无环）下，网中只有一个入度为零的点（称作源点）和一个出度为零的点（称作汇点）,汇点,源点,依据AOE-网可以研究什么问题？,（1）完成整项工程至少需要多少时间？（2）哪些活动是影响工程进度的关键？,完成工程的最短时间是从源点到汇点的最长路径的长度。路径长度最长的路径叫做关键路径。从v1到v9的最长路径是（v1,v2,v5,v8,v9），路径长度是18。,假设开始点是v1，从v1到vi的最长路径长度叫做事件vi的最早发生时间。这个时间决定了所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。用e(i)表示活动ai的最早开始时间。,V9的最早发生时间是18,事件vi的最早发生时间,l(i)e(i)两者之差意味着完成活动ai的时间余量。我们把l(i)e(i)的活动叫做关键活动。显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。,a6的最早开始时间是5，最迟开始时间是8。如a6推迟3天开始或延迟3天完成，都不会影响整个工程的完成。,活动的最迟开始时间l(i)，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动ai最迟必须开始进行的时间。,由此可知：辨别关键活动就是找e(i)l(i)的活动。为求得AOE网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早发生时间ve(j)和最迟发生时间vl(j)。若活动ai由弧表示，持续时间记为dut()，则有如下关系：活动i的最早开始时间等于事件j的最早发生时间e(i)ve(i)活动i的最迟开始时间等于事件k的最迟时间减去活动i的持续时间l(i)vl(j)-dut()求ve(j)和vl(j)需分两步进行：,vej和vlj可以采用下面的递推公式计算：（1）向汇点递推ve(源点)=0；ve(j)=Maxve(i)+dut(),公式意义：从指向顶点Vj的弧的活动中取最晚完成的一个活动的完成时间作为Vj的最早发生时间vej,（2）向源点递推由上一步的递推，最后总可求出汇点的最早发生时间ven。因汇点就是结束点，最迟发生时间与最早发生时间相同，即vln=ven。从汇点最迟发生现时间vln开始，利用下面公式：vl(汇点)=ve(汇点);vl(i)=Minvl(j)dut(),公式意义：由从Vi顶点指出的弧所代表的活动中取需最早开始的一个开始时间作为Vi的最迟发生时间。,由此得到下述求关键路径的算法：1）输入e条弧，建立AOE网的存储结构。2）从源点v0出发，令ve00按拓扑有序求其余各顶点的最早发生时vei（1in-1）。如果得到的拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤（3）。3）从汇点vn出发，令vln-1=ven-1，按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vli(n-2i0)；4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间l(s)。若某条弧满足条件e(s)=l(s)，则为关键活动。,如上所述，计算顶点的ve值是在拓扑排序的过程中进行的，需对拓扑排序的算法作如下修改：1）在拓扑排序之前设初值，令ve(i)=0（0)ve(j),则ve(j)=ve(i)+dut()；3）为了能按逆拓扑有序序列的顺序计算各顶点的vl值，需记下在拓扑排序的过程中求得的拓扑有序序列，则需要在拓扑排序算法中，增设一个栈以记录拓扑有序序列，则在计算求得各顶点的ve值之后，从栈顶至栈底便为逆拓扑有序序列。,总之，关键路径的求解操作包括：1）计算vej和vlj向汇点递推ve(源点)=0；ve(j)=Maxve(i)+dut()向源点递推vl(汇点)=ve(汇点);vl(i)=Minvl(j)dut(),2）判断l(i)=e(i)的活动（关键活动）,求最早发生时间ve的算法,StatusTopologicalOrder(ALGraphG，Stackfor(p=G.verticesj.firstarc；p；p=p-nextarc)k=padjvex；/对i号顶点的每个邻接点的入度减lif(-indegreek=0)Push(S，k)；/若入度减为0，入栈if(vej+*(p-info)vek)vek=vej+*(p-info)；/for*(p-info)=dut()/whileif(countnextarc)k=p-adjvex；dut=*(pinfo)；/dutif(vlk-dutnextarc)k=p-adjvex；dut=*(pinfo)；ee=vej；el=vlk-dut；tag=(ee=e1)?*:；printf(j，k，dut，ee，el，tag)；/输出关键活动/CriticalPath,例：求下图AOE网的关键路径,e(s)ve(i)l(s)vl(j)-dut(),ve(源点)=0；ve(j)=Maxve(i)+dut(),vl(汇点)=ve(汇点);vl(i)=Minvl(j)dut(),拓扑序列：V1、V3、V2、V5、V4、V6,练习：求下图AOE网的关键路径,总结：有向无环图是描述一项工程或系统的进行过程的有效工具。AOV网（顶点表示活动的有向网）与拓扑排序解决工程或系统能否顺利进行；AOE网（边表示活动的有向网）和关键路径问题估算整个工程完成所必须的最短时间，求解哪些活动为关键活动。,第7章图7.1图的定义和术语7.2图的存储结构7.3图的遍历7.4图的连通性问题7.5有向无环图及其应用7.6最短路径,7.6最短路径,所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（称为源点）出发到达另一顶点（称为终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和达到最小。1.单源点最短路径2.所有顶点对之间的最短路径,7.6.1单源点最短路径,给定带权有向图G和源点v,求从v到G中其余各顶点的最短路径。,V5,V0,V2,V4,V1,V3,100,30,10,60,10,20,50,5,V0,V2,V4,V3,V5,V0,始点终点Di最短路径,V1V2V3V4V5,1030100,1030100,106030100,106030100,105030100,(V0,V2)(V0,V4)(V0,V5),(V0,V2)(V0,V4)(V0,V5),(V0,V2)(V0,V2,V3)(V0,V4)(V0,V5),(V0,V2)(V0,V2,V3)(V0,V4)(V0,V5),(V0,V2)(V0,V4,V3)(V0,V4)(V0,V5),10503090,(V0,V2)(V0,V4,V3)(V0,V4)(V0,V4,V5),10503090,(V0,V2)(V0,V4,V3)(V0,V4)(V0,V4,V5),10503060,(V0,V2)(V0,V4,V3)(V0,V4)(V0,V4,V3,V5),10503060,(V0,V2)(V0,V4,V3)(V0,V4)(V0,V4,V3,V5),如何在计算机中求得最短路径？,Dijkstra提出了一个按路径“长度”递增的次序，逐步得到由给定源点到图的其余各点间的最短路径的算法：假设我们以邻接矩阵cost表示所研究的有向网。迪杰斯特拉算法需要一个顶点集合，初始时集合内只有一个源点V0，以后陆续将已求得最短路径的顶点加入到集合中，到全部顶点都进入集合了，过程就结束了。集合可用一维数组来表示，设此数组为S，凡在集合S以外的顶点，其相应的数组元素Si为0，否则为1。,另需一个一维数组D，每个顶点对应数组的一个单元，记录从源点到其他各顶点当前的最短路径长度，其初值为Di=costV0i，i=1n。数组D中的数据随着算法的逐步进行要不断地修改定义了S集合和D数组并对其初始化后，迪杰斯特拉算法在进行中，都是从S之外的顶点集合中选出一个顶点w，使Dw的值最小。于是从源点到达w只通过S中的顶点，把w加入集合S中，并调整D中记录的从源点到集合中每个顶点v的距离：取Dv和Dw+costwv中值较小的作为新的Dv重复上述，直到S中包含V中其余各顶点的最短路径。,V0V1V2V3V4V5V01030100V15V250V310V42060V5,V0,V2,V4,V3,V5,V1,V0,V2,V4,V3,V5,V0,V2,V4,V3,V0,V2,V4,V0,V2,S=V0,V1,V5,V3,V4,V2,Vj,V5,V4,V3,V2,V1,i=5,i=4,i=3,i=2,i=1,D终点,7.6最短路径,7.6.1单源点最短路径7.6.2所有顶点对之间的最短路径,问题描述：已知一个各边权值均大于0的带权有向图，对每对顶点vivj，要求求出每一对顶点之间的最短路径和最短路径长度。解决方案：1.每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法n次。这样，便可求得每一对顶点之间的最短路径。总的执行时间为O(n3)。2.形式更直接的弗洛伊德（Floyd）算法。时间复杂度也为O(n3)。,弗洛伊德算法思想：假设求从顶点Vi到Vj的最短路径。如果从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为arcsij的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。首先考虑路径（Vi,V0,Vj）是否存在（即判别（Vi,V0）、（V0,Vj）是否存在）。如存在，则比较（Vi,Vj）和（Vi,V0,Vj）的路径长度，取长度较短者为从Vi到Vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。假如在路径上再增加一个顶点V1，依次类推。可同时求得各对顶点间的最短路径。,定义一个n阶方阵序列D(-1),D(0),D(1),D(2),D(k),D(n-1)其中：D(-1)ij=arcsijD(k)ij=MinD(k-1)ij,D(k-1)ik+D(k-1)kj0kn-1可见，D(1)ij就是从vi到vj的中间顶点的序号不大于1的最短路径的长度;D(k)ij就是从vi到vj的中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度;D(n-1)ij就是从vi到vj的最短路径的长度。,各顶点间的最短路径及其路径长度,最短路径弗洛伊德举例,2,1,0,2,1