高等数学试卷上

高 等 数 学 复 习 资 料高等数学（上册）考试试卷（一）一、填空2= ，= ，= 3设，且当时，则 4设，则= 5在=0处可导，则 ， 二、选择2=（ ）。 （A）1 （B） （C）0 （D）3设函数具有连续的导数，则（ ） （A）； （B）； （C）； （D）4设在上连续，则在上至少有一点，使得（ ） （A） （B）（C） （D）5设函数在=处取得极值，则（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3三、计算题2求下列极限 （1）； （2）3计算下列积分 （1）； （2） （3）； （4）4求下列导数或微分（1） 设，求。 （2），求。 （3），求。 （4）设，求隐函数的二阶导数。四、设，且，证明： （1）存在，使（2） 对任意实数，必存在，使高等数学（上册）考试试卷（二）一、 填空1、已知,则 2、设,则= 3、设的一个原函数为，则 4、存在的充分必要条件是和 二、选择2、下列命题不正确的是 A、非零常数与无穷大之积是无穷大。 B、0与无穷大之积是无穷小。C、无界函数是无穷大。 D、无穷大的倒数是无穷小。3、设 A、 B、 C、 D、4、,则在=0处 A、存在，不存在 B、存在，不存在C、，均存在但不相等 D、，存在且相等5、 A、0 B、1 C、2 D、4二、 计算题1、求下列极限（1） （2）2、求下列导数或微分（1） 设=（2） 求由椭圆方程所确定的函数y的二阶导数。（3） 已知（4） 设3、计算下列积分（1） （2）（3） （4）4、求曲线所围图形绕轴旋转一周所成立体的体积。三、 证明：当高等数学（上册）考试试卷（三）一、填空1设= ，= ，= 。4设 。5由曲线以及直线所围图形的面积由积分可表示为 。二、选择1若则必有 。（A） （B）（C） （D）2设函数处连续，若的极值点，则必有 。（A） （B） （C）不存在 （D）不存在4若，则 。（A） （B）（C） （D）5函数的单调增加区间为 。（A）（0，） （B）（1，） （C）（，） （D）（0，）三、计算题1求下列导数或微分（1） 设，其中在处连续，求（3） 已知（4） 设2计算下列极限（1） （2）3计算下列积分（1） （2）（3） （4）4求函数在0，3上的最大、最小值。四、若在0，1上有二阶导数，且，证明：在（0，1）内至少存在一点，使得高等数学（上册）考试试卷（四）一、 填空1、= 是函数的第 类间断点，且为 间断点。2、 4、设则= 5、曲线的拐点为 ,下凸区间为 二、选择1、 设处可导，则必有 A、2 B、=2, C、=1, =2 D、=3, =22、 若，则 A、=2,=4 B、=4, =-5 C、=1, =-2 D、=-4, =53、 已知 A、 B、 C、 D、4、 设则= A、- B、 C、 D、三、计算题（1）（3）设，存在且不为0，求（4）设，求的单调区间，凸区间，极值及拐点。（5）（6） (8) 设 ，(i)为何值时，在=2处的极限存在？（ii）为何值时，在=2处连续？（9）设，求四、 设在内可微，且。证明：存在常数，使高等数学（上册）考试试卷（五）一、 填空1、_2、设的一个原函数是,则 4、 个零点。5、曲线 二、 选择1、 设在处可导，则 A、 B、 C、0 D、2、 若 A、有水平渐近线 B、有铅直渐近线C、 D、为有界函数4、已知 A、 B、 C、 D、5、设 A、 B、 C、 D、三、 计算题1、 求下列极限（1） （2）2、 求下列导数或微分（1）（2）设函数由方程确定，求3、 计算下列积分（1） （2）4、 设，讨论在处的连续性。四、 证明题1、 证明：当2、 设在0，1上连续，在（0，1）上可导，且,求证在（0，1）内至少有一点，使高等数学（上册）考试试卷（六）一、填空1、 =_2、 已知，则_3、 若，则_；若，则_二、选择1、 若，则必有_A、在点连续； B、在点有定义；C、在的某去心邻域内有定义； D、3、在处_A、 不连续； B、连续但不可导；C、可导，但导数在该点不连续； D、导函数在该点连续4、 已知，则_A、； B、；C、； D、三、计算题1、 求下列极限（1） （2）2、 求下列导数或微分（1） ，求 （2），求（3）设，求 （4）求由方程所确定的函数的导数（5），求3、 求下列积分（1） （2）（3） （4）4、 在抛物线上找一点M，使得过该点的切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积最小。高等数学（上册）考试试卷（七）一、填空1、 设，则_2、 曲线的渐近线方程是_3、 已知是的一个原函数，则_4、 由定积分的性质知：_二、选择1、 设，下列命题正确的是_A、 若,则一定连续； B、若，则；C、若，则； D、若，则；2、 设，则_A、；B、；C、；D、以上都不对；3、_ A、； B、；C、； D、；5、 在内_A、 不满足拉格朗日条件； B、满足拉格朗日条件且C、满足拉格朗日条件，但无法求出； D、不满足拉格朗日条件，但有满足中值定理的结论。三、计算题1、 求下列极限（1） （2）2、 求下列导数或微分（1） 设，求 ； （2）设，求；（2） 设，求； （4）设，求；3、 求下列积分（1） （2）（3） （4）4、某车间靠墙壁要盖一间高为的长方形小屋，现有存砖只够砌20M长的墙壁，问应围成怎样的长方形，才能使这间小屋的面积最大？ 四、 明：， 为正整数。高等数学（上册）考试试卷（八）一、 填空1、设,则= 2、设存在，则 4、 5、设,且,则= 二、选择： 1、设，则=0是的 （A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）振荡间断点2、下列各式中正确的是 （A） （B）（C） （D）4、设在处连续且不存在，则在 处 （A）没有切线 （B）有一条不垂直 x轴的切线（C）有一条垂直x轴的切线 （D）或者不存在切线或者有一条垂直于x轴的切线。5、设与是在区间I上的两个不同的原函数，则 （A） （B） （C） (D)三、计算题1、求下列极限（1） (2)2、求下导数或微分（1）（2）设,可微，求（3）设为的可微函数，求3、求下列积分（1） （2）（3） （4）5、 设具有二阶连续导数，且四、证明题1、 证明：0时,2、设在a,b上连续且0,证明：在a,b内有唯一的一点，使得高等数学（上册）考试试卷（九）一、填空1、= 2、过原点作直线L与曲线相切，则L 的方程为 3、曲线的拐点坐标为 4、 二、选择：1、设是的原函数，则= （A） (B) (C) (D) 2、若,则= （A） (B) (C) (D) 3、若积分 （A）=0 (B)=1 (C)1 (D)14、设时 （A）与是等价无穷小； （B）是比高阶的无穷小（C）是比低阶的无穷小； （D）与是同阶无穷小三、计算题1、 求极限（1） (2)2、求下列导数或微分（1），求（2）设，求（3）设，求（4）已知,求3、求下列积分（1） （2）（3） （4）4、设是非负的连续整数，,讨论的单调性。四、证明题：1、 设满足（1）若在取得极值，证明它是极小值（2）若，求最小的常数，使得当时有.2、 设可导，证明的两个零点之间一定有的零点。高等数学（上册）考试试卷（十）一、填空1已知，则= 2经过点（2,0,-1）且与直线平行的直线方程为 3设，则= 4函数的定义域为 5设是a,b上的连续函数，则有一个原函数为 二、选择1设在a,b上可积，下列各式中不正确的是 （A） （B）（C） （D）2= （A）0 （B）+ （C）- （D）不存在4设为的原函数，则= （A） （B） （C） （D）5曲线的渐近线有 （A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条三、计算题1求下列极限（1） （2）2求下列函数的导数（1） （2）3求下列积分（1） （2）（3） （4）4设，且反函数为，求。5方程有几个实根？四、证明题1设，证明三向量共面。2. 设，且00时，高等数学（上册）考试试卷（十四）一、填空2设，则= ，定义域为 3函数的一个原函数为 4设在=0处可导，且，则 二、选择1设为连续函数，则下列运算 成立（A） （B）（C） （D）2已知曲线在面上的投影为，则为 （A）1 （B）0 （C）-1 （D）23下列积分正确的是 （A） （B）（C） （D）4给定数列，下列命题正确的是（A）若存在，则存在（B）若和存在，则也存在（C）若有界，则存在（D）若无界，则不存在5设为R上可导函数，则 （A）若为偶函数，则也为偶函数（B）若为奇函数，则也为奇函数（C）若为周期函数，则也为周期函数（D）若为单调函数，则也为单调函数三、计算题1求下列极限（1） （2）2求下列导数或微分（1）设； （2）设（3）设=由方程确定，求3求下列积分（1） （2）的一个原函数（3） （4）4设，讨论函数的单调区间，极值，凹凸性和拐点。5在曲线（）上某点B处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）切点B的坐标；（2）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。四、证明题1证明：2设，试证：在a,b上必有一点，使得，(m0,n0)高等数学（上册）考试试卷（十五）班级 姓名_一、填空2函数的原函数为 3函数的反函数为 ，反函数的定义域为 4，则的几何意义是 5函数在区间 单调增二、选择题1函数 在给定区间上满足罗尔定理条件（A） -2,1（B） -1,1（C） -1,1（D） 0,3设，则有 （A）极小值 （B）极小值 （C）极大值 （D）极大值4设积分曲线中有倾角为的直线，则的图形是 （A）平行于轴的直线 （B）抛物线（C）平行于 轴的直线 （D）直线5已知 （A）1 （B）0 （C） （D）不能确定三、计算题1求下列极限（1） （2）2求下列导数或微分（1）设 求（2）设，求（3）已知求（4）设，求3求下列积分（1） （2）（3） （4）4讨论函数的凹凸性和拐点。四、证明题1证明：2设，证明在考试试卷参考答案试卷一答案一、填空：1、 2、，0，不存在 3、 4、 5、1，2、二、选择：1、B； 2、D； 3、A； 4、D； 5、C三、计算：1解：平面法向量垂直于，又过点（3，-2，1），则所求平面方程为 即 2（1）解： （2）解：3（1）解：解： （3）解： （4）解：4（1）解： （2）解： （3）解： （4）两端对求导： 四、（1）证明：令，则故，使得，即（2）证明：设，则 ，由罗尔定理：，即 即 试卷二答案一、填空1、-1 2、-2 3、 4、存在且相等。5、1二、选择1、B 2、C 3、D 4、C 5、C三、计算题1、求下列极限。（1）解：（2）解：2、求下列导数或微分。（1） 解：， （2）解：方程两边对求导：再由，两端继续对求导（3）解： =(4)、解：四、计算下列积分。（1）=（2）=（3）=2(4)4、解：由四、证：设故在上单调增，又=0当1时， =0,即试卷三解答一、填空：11，0，不存在 24 34 5二、选择1C 2C 3C 4C 5C三、计算题1（1）解： （2）解： 在，两端对t求导： 又时，（3）解： 2（1）解：（洛必达法则）原式= （2）原式=3（1）解：在（-1，1）上为奇函数 （2）解：设原式= =（3）解： （4）解：4解：可见在（0，3）内是的驻点，的不可导点。因四、证： 又又,试卷四解答一、 填空1、1，一，跳跃； 2、 3、13、13； 4、; 5、（2、2e-2）,(2,+)选择1、B； 2、A； 3、B； 4、A； 5、A二、三、 计算题解：=(2)解：两切线方程分别为：，交点为（3）解：,（4）解：定义域为令单调增区间为，单调减区间为（0，2），极小值为，下凸区间为，无拐点。（5）（6） =（）（8）解：（i）要使在=2处极限存在,则(ii)要使在=2处连续，则，（9）解：,四、证：要证作试卷五解答一、填空1、0 ； 2、; 3、双曲线，母线平行于轴的双曲柱面； 4、1； 5、二、选择1、B； 2、A ； 3、B ； 4、D ； 5、D三、计算题1、求下列极限（1）解：（2）解：=2、求下列导数或微分（1）解：（2）解：方程两边对求导：3、计算下列积分（1）解：（2）解：=4、解：，当当5、解：= =四、证明题1、证：令2、证：设且:即：试卷六解答一、填空1、2 2、 3、 4、 5、0，二、选择1、C 2、C 3、B 4、D 5、A三、计算题1、 求下列极限(1) 解：原极限=(2) 解：令，则当时，原极限=2、 求下列导数或微分（1）解：当时，当时，所以（2）解：（3）解：，故 （4）解：方程两端对求导数：，故 （5）解：3、 求下列积分（1）解：原积分=（2）解：原积分= =（3）解：原积分=（4）解：原积分= = =四、证明：与垂直试卷7解答一、 填空1、 2、 3、 4、 5、1/2，二、 选择1、B 2、D 3、B 4、A 5、B三、 计算题1、 求下列极限（1）解：= （2）解：=2、 求下列导数或微分（1） 解： （2） 解：（3） 解：两边对求导： （4） 解：两边取对数： 3、 求下列积分（1） 解：设，则原积分= （2） 解：设，则原积分= （3）解：是偶函数，是奇函数 原积分=令，则原积分= =（4）解：原积分= = =4、 解：设长方形小屋长为，则宽为，小屋面积为 由，得为唯一的驻点；又，故为极大值点，即最大值点。当长为10M，宽为5M时，小屋面积最大四、 证：左端= =右端试卷八解答一、填空1、 2、 3、（1,1,-3） 4、2 5、二、 选择：1、C 2、A 3、C 4、D 5、D三、 计算题：1、(1)解：=(2)解：2、（1）解：（2）解： = (3)解：3、（1）解：设，则=（2）解： =（3）解：令（4）解：=4、解：由二阶可导知连续，又由知，即.又因为，记，由罗必达法则 所以原式=四、 证明题1、 证：令 ； 故单调增加（1）当时，从而单调增加，又，故(2)当时，从而单调减少，又，故当时,，即得证.2、证：令至少存在一点设还有一点，试卷九解答一、填空1、e3 2、 3、 4、( ) 5、0二、选择1、A 2、C 3、D 4、D 5、B三、计算题1、 求极限（1） 解：原式=（2） 解：原式=2、求下列导数或微分（1）解：（2）解：=(3)解：=(4)解：当时，3、求下列积分（1）解：令，则原式=(2)解：当 时，原式当时，原式=(3)解：原式=对于原式=（4）解：原式=()-=()-=4、解：=单调增加。四、证明题：1、（1）在处取极值，又(2) 又 ,在x 0时有，故,而且=1/2为所求最小常数.2、 设，为的两个零点，亦为的零点。又可导，故可导。由罗尔定理，或，使得，即 试卷十解答一、填空1.； 2.； 3.； 4.U 5.二、选择1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(D) 5.(C)三、计算题1（1）解：原极限= = = （1） （2）解：原式= = =2（1） （2）3（1）解：原积分= （2）解原积分= = = 3）解：原积分 = =（4）解：被积函数为奇函数，积分区间为对称区间，故积分=04解：对两边求导得： （1）是的反函数 故（1）式为：又 ，故5解：设，由，得，且在内，严格单调增；在内，严格单调减，故是的最大值，因此：1）若0，即时，由于，由的单调性及零点定理知，方程=0恰有两个实根。四、证明题2证：设，则 01 由根的存在定理知，至少存在一点（0,1）使，即()=试卷十一解答一、填空1 2. 同阶 3. 4. 5. 二、选择1.(A) 2.(B) 3.(C) 4.(C) 5.(D)三、计算题1（1）原极限= 令，则时， 原极限=（2）原极限= 2（1）两边取对数，得： （2）两边微分，得（3）在处可导在处连续 ，即又 当时，在处可导，且3（1）原式= （2）原式 =（3）原式= = =（4）原式= = =4解：是的间断点 是的可去间断点。 是的无穷间断点。5解: V= 令当时，体积最小四、证明题1证：由拉格朗日中值定理：使又由在单调增加，于是，从而 在内单调增加。2证：令，则= = = 试卷十二解答一、填空1. 2. (-2,2) 3. 0，因此设，则=单调增加，且,故存在设，则: 解得 . 因为非负， （2）设，在上应用拉格朗日中值定理得：，（）显然，当时，于是原极限=2（1）解：= （2）解：两边取对数：两边对求导：（3） （4） 3（1）设，则原积分= = = =（2）原积分= =（3）为瑕点，原积分= =（4）原式= =4解：设为上任一点, 则 令 对应得 考虑点（1）若=2，则。显然，当且仅当=0时取最小值，故这时由点 即(0,2)到上的点的最短距离为2；（2）若2，由于故此时在处取最小值，且最短距离为。（3）若，由于故此时在处取最小值，且最短距离为四、证明题1证： 设，则 单调增加，。2证：设= (1)取=0，则 故 试卷十三解答一、填空1 2. 3 4. 5.二、选择1（A） 2.(D) 3.(C) 4.(B) 5.(A)三、计算题1（1） 原极限=0 （2）原极限=2（1） （2）两边取对数： 求导：得：又=1时=1， （3） （4） =3（1）原积分= = = = = （2）原积分= = = （3）原积分= = = （4）当 =当当四、证明题1设0，且,在上连续，在内可导 在上连续，在内可导 又 由罗尔定理知，在内至少存在一点，使而 由得到2