【精品】苏教版高中数学必修5全部教案【精美整理版】

苏教版高中数学必修5全部教案【精美整理版】目 录第一章 解三角形1第1课时 正弦定理（1）1第2课时 正弦定理（2）3第3课时 正弦定理（3）7第4课时 余弦定理（1）10第5课时 余弦定理（2）13第6课时 余弦定理（3）16第7课时正、余弦定理的应用（1）20第8课时正、余弦定理的应用（2）24第9课时 解三角形复习课27(1)、(2)27第二章 数列34第1课 数列的概念及其通项公式34第2课时 数列的概念及其通项公式37第3课时等差数列的概念和通项公式40第4课时等差数列的概念和通项公式44第5课时等差数列的概念和通项公式47第6课时等差数列的前n项和（1）50第7课时等差数列的前n项和（2）54第8课时等差数列的前n项和（3）59第9课时等比数列的概念和通项公式63第10课时等比数列的概念和通项公式67第11课时等比数列的概念和通项公式70第12课时 等比数列的74前n项和(1)74第13课时 等比数列的77前n项和(2)77第14课时 等比数列的82前n项和(3)82第15、16课时 数列复习课(2课时)86第三章 不等式99第1课时 不等关系100第2课时 一元二次不等式(1)103第3课时 一元二次不等式(2)109第4课时 一元二次不等式(3)113第5课时一元二次不等式应用题117第6课时二元一次不等式表示的平面区域119第7课时二元一次不等式组表示的平面区域123第8课时简单的线性规划问题127第9课时线性规划应用题130第10课时基本不等式的证明(1)134第11课时基本不等式的证明(2)138第12课时 不等式的证明方法141第13课时基本不等式的应用（1）144第14课时 基本不等式的应用(2)147第15课时 不等式复习课150本站资源汇总优秀资源，值得收藏156 第一章 解三角形【知识结构】【重点难点】听课随笔重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第1课时 正弦定理（1）【学习导航】 知识网络 直角三角形的边角关系任意三角形的边角关系正弦定理学习要求 1正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题【课堂互动】自学评价1正弦定理：在ABC中，,2正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角【精典范例】【例1】在中，求，分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题【解】因为，所以因为，所以，因此， ，的长分别为和【例2】根据下列条件解三角形：（1）；（2）分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题【解】（1），为锐角， ，（2），当当所以，追踪训练一1在ABC中，则的值为（ A ）A B C 10 D 2在ABC中，已知，则= （ C ）A B C D 13（课本P9练习第2题）在ABC中，（1）已知，求，；（2）已知，求，。略解：（1），；（2），（可以先判断是等腰三角形再解）4（课本P9练习第3题）根据下列条件解三角形：（1），；（2），。略解：（1）由题意知：或，或，（要注意两解的情况）（2）由题意知： 【选修延伸】【例3】在锐角三角形ABC中，A=2B，、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。听课随笔【解】在锐角三角形ABC中，A、B、C900，即：，由正弦定理知：，故所求的范围是：。【例4】在ABC中，设，求的值。【解】由正弦定理得：又，。追踪训练二（1）在中，已知，则 ， （2）在中，如果，那么 ，的面积是 （3）在中，则 【师生互动】学生质疑教师释疑第2课时 正弦定理（2）【学习导航】 知识网络 正弦定理测量问题中的应用学习要求 1正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2学会用计算器，计算三角形中数据。【课堂互动】自学评价1正弦定理：在ABC中，,变形：（1），（2），2三角形的面积公式：（1）=（2）s=（3）【精典范例】【例1】 如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度（精确到）分析：要求，只要求，为此考虑解【解】听课随笔过点 作 交 于，因为 ，所以，于是又，所以在中，由正弦定理，得（）在中，000（）答山的高度约为【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），A=，B=，AB=120m，如何求得它的高？（）分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C；（2）求三角形的高。【解】（1）先分别沿A、B延长断边，确定交点C，C=1800-A-B，用正弦定理算出AC或BC；（2）设高为h，则【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。（请用计算器解答，精确到）【解】连接BD，设BDC=，则由正弦定理知，即，从而有 ，由于，即，而梯形的高所以有 注：本题也可以构造直角三角形来解，过C作CEAB于E，过D作DFAB于F即可。【例4】已知、是ABC中A、B、C的对边，是ABC的面积，若=4，=5，=，求的长度。【解】由三角形的面积公式得： ，听课随笔追踪训练一1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是 ( D )A.10海里 B.海里C. 5海里 D.5海里2有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长( A )A. 1公里 B. sin10公里 C. cos10公里 D. cos20公里3如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度q【解】在ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 45-15 = 30由正弦定理： BC = 200sin15在DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 + q由正弦定理：cosq =,q = 4294【选修延伸】【例5】在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.【解】C、C关于点B对称，设云高CE = x，则CD = x - h，CD = x + h，在RtACD中，在RtACD中，,解得 .追踪训练二1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60， 另一灯塔在船的南偏西75，则这只船的速度是每小时 ( C )A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里2某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为 ( C )A. B. C. D. 不能确定大小 听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑第3课时 正弦定理（3）知识网络 学习要求 1掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；2熟记正弦定理及其变形形式；3判断的形状.【课堂互动】自学评价1正弦定理：在ABC中，,为的外接圆的半径2三角形的面积公式：（1）s=（2）s=（3）s=【精典范例】【例1】在中，已知，试判断的形状【解】令，由正弦定理，得代入已知条件，得，即tantantan又， （，），所以，从而为正三角形听课随笔点评: 通过正弦定理，可以实现边角互化【例2】在中，是的平分线，用正弦定理证明【证】设，则，在和中分别运用正弦定理，得，又（），所以，即【例3】根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数（1），求；（2），求；（3），求； （4），求；（5），求【解】（1），只能是锐角，因此仅有一解（2），只能是锐角，因此仅有一解（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得（5）由于为锐角，又，即，无解追踪训练一1. 在ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30，则解此三角形的结果是 （C ） A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定2. 在ABC中，若，则等于（ D ）A B C D3. 在ABC中，若，则ABC的形状是（ D ）A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能确定 D等腰三角形【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值【解】由于为正三角形的中心，设，则，在中，由正弦定理得：，听课随笔，在中，由正弦定理得：，故当时取得最大值，所以，当时，此时取得最小值追踪训练二1.在中，则 ( D )A B C D2.在中，若，且，则 4 ， 5 ， 6 3.已知ABC中，abc12，则ABC等于(A )A123 B231 C132 D3124.如图，ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( C )A.75 B.60 C.50D.455已知ABC中，sinAsinBsinCk(1-2k)3k(k0)，则k的取值范围为 ( B)听课随笔A(2，) B(，)C D6在ABC中，证明：.证明： 由正弦定理得：【师生互动】学生质疑教师释疑第4课时 余弦定理（1）知识网络 三角形中的向量关系余弦定理学习要求 1 掌握余弦定理及其证明；2 体会向量的工具性；3 能初步运用余弦定理解斜三角形【课堂互动】自学评价1余弦定理：(1)，.(2) 变形：， 2利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三边，求三个角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【精典范例】【例1】在中，（1）已知，求；（2）已知，求（精确到）【解】（1）由余弦定理，得，所以 （2）由余弦定理，得，所以，听课随笔点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三边，求三个角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【例2】两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离（精确到）【解】由余弦定理，得所以，答 两地之间的距离约为【例3】用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，【证】当为锐角时，由余弦定理，得，即 同理可证，当为钝角时，点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广追踪训练一在中，（）已知，求a；（）已知a，求略解：（1）a略解：（2）若三条线段的长为，则用这三条线段（）能组成直角三角形能组成锐角三角形能组成钝角三角形不能组成三角形在中，已知，试求的大小略解：两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北行驶，另一艇以的速度向北偏东的方向行驶，问：经过，两艇相距多远？略解：两艇相距4.71km【选修延伸】【例4】在ABC中，=，=，且，是方程的两根，。（1） 求角C的度数；（2） 求的长；（3）求ABC的面积。解：(1) （2）因为，是方程的两根，所以听课随笔 （3）【例5】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，证明：。证明：由余弦定理知：，则，整理得: ，又由正弦定理得:， ， 追踪训练二1在ABC中，已知，B=，则 （ B ）A 2 B 听课随笔 C D 2在ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=，则A= （ A ）A B C D 3在ABC中，若，C=，则此三角形有 一 解。提示：由余弦定理得：负值不合题意，舍去。4、 ABC中，若，则A= 。【师生互动】学生质疑教师释疑第5课时 余弦定理（2）【学习导航】 知识网络 学习要求 1能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；3初步利用定理判断三角形的形状。【课堂互动】自学评价1余弦定理：(1)，.(2) 变形：， 2利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三边，求三个角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【精典范例】听课随笔【例1】在长江某渡口处，江水以的速度向东流，一渡船在江南岸的码头出发，预定要在后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度精确到）？【解】如图，船按方向开出，方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，其中在中，由余弦定理，得所以 因此，船的航行速度为在中，由正弦定理，得 所以 所以 答：渡船应按北偏西的方向，并以的速度航行【例2】在中，已知，试判断该三角形的形状【解】由正弦定理及余弦定理，得，所以 ，整理得 因为，所以因此，为等腰三角形【例3】如图，是中边上的中线，求证：【证明】设，则在中，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得因为，所以，因此， 追踪训练一1. 在中，如果，那么等于（）2.如图，长的梯子靠在斜壁上，梯脚与壁基相距，梯顶在沿着壁向上的地方，求壁面和地面所成的角（精确到.）略解：3. 在中，已知，试证明此三角形为锐角三角形【选修延伸】听课随笔【例4】在ABC中，设，且，请判断三角形的形状。【解】由,即而，得而由得而，三角形为等边三角形。追踪训练二1在ABC中，A60，b1，其面积为，则等于( B)A B C D2在中，设，且，求的长略解：听课随笔3.用余弦定理证明：在中，（）；（）；（）【师生互动】学生质疑教师释疑第6课时 余弦定理（3）【学习导航】 知识网络 学习要求 1余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3进一步运用余弦定理解斜三角形【课堂互动】自学评价1余弦定理：(1)，.(2) 变形：， 2判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例1】在ABC中，求证：（1）（2）分析：【解】（1）根据正弦定理，可设 = = = k显然 k0，所以 左边= =右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边【例2】在中，已知acosA = bcosB用两种方法判断该三角形的形状.听课随笔分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。【解】方法1o（余弦定理）得a=bc=是等腰三角形或直角三角形.方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,或2A+2B=180A=B或A+B=90 是等腰三角形或直角三角形.点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。【例3】在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：（1） AB的长（2） 四边形ABCD的面积【解】（1）因为BCD=75，ACB=45，所以ACD=30 ，又因为BDC=45，所以DAC=180-（75+ 45+ 30）=30， 所以， AD=DC=在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以= ，BD = = 在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,所以， AB=（3） S=ADBDsin75=同理， S= 所以四边形ABCD的面积S=追踪训练一听课随笔1. 在ABC中，则下列各式中正确的是（ D ）A. B. C. D. 2. 在ABC中，若,则ABC的形状是_直角三角形_3. 如图，已知圆内接四边形的边长分别为， ，如何求出四边形的面积？答案：S=8【选修延伸】【例4】如图：在四边形ABCD中，B=D=750，C=，AB=3，AD=4，求对角线AC的长。分析：此题涉及两个三角形，AC是公共边。【解】设DCA=，AC=，则听课随笔追踪训练二1在ABC中，若c4-2(a2b2)c2a4a2b2b40，则C等于( D )A90 B120 C60 D120或602在锐角中，若，则边长的取值范围是3已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.答案：a=6,S=9;a=12,S=18【师生互动】学生质疑教师释疑第7课时正、余弦定理的应用（1）【学习导航】 知识网络 学习要求 1 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题2 分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念3 将实际问题转化为解三角形问题【课堂互动】自学评价1正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；（2）正弦定理的变形：；（3）余弦定理：1）变形：2）2运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】听课随笔【例1】为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）. 【解】在中，则.又，由正弦定理，得.在中，则.又，由正弦定理，得在中，由余弦定理，得 ，所以 答 两点之间的距离约为.【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.【解】设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，又，.由余弦定理，得，即化简，得，解得（负值舍去）.由正弦定理，得所以，方位角为.答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.【例3】某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.【解】设，船的速度为，则，.在中，.听课随笔在中，.在中，船的速度.追踪训练一1 曲柄连杆机构示意图如图所示当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是x已知，根据下列条件，求的值（精确到）：（）；（）.答案：（） （）2如图，货轮在海上以的速度由向航行，航行的方位角，处有灯塔，其方位角，在处观察灯塔的方位角，由到需航行，求到灯塔的距离答案：3如图，某人在高出海面的山上处，测得海面上的航标在正东，俯角为，航标在南偏东，俯角为，求这两个航标间的距离 答案：这两个航标间的距离是600m.【选修延伸】【例4】三角形ABC中有两个角分别为300和450， ，求ABC的面积。【解】由条件知三角形的第三个角为1050，设三角形外接圆半径为，则.追踪训练二1在ABC中，已知A=，且，则C的值为（ C ）A 4 B 9 C 4或9 D 无解2有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为300时，测得气球的视角，若很小时可取，则估算该气球离地高度为（ B ）听课随笔A 72 m B 86 m C 102 m D 118 m3在锐角三角形ABC中，则边的取值范围是 （ C ）A B C D 提示：分边是最大边和不是最大边两种情况讨论，用余弦定理。4在ABC中，若，则B= 600 。提示：由条件知，【师生互动】学生质疑教师释疑第8课时正、余弦定理的应用（2）【学习导航】 知识网络 学习要求 1利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。【课堂互动】自学评价运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】【例1】作用在同一点的三个力平衡.已知，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）.【解】应和合力平衡，所以和在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图1-3-3，在中，由余弦定理，得再由正弦定理，得，所以，从而.听课随笔答 为，与之间的夹角是.【例2】半圆的直径为，为直径延长线上的一点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？ 分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.【解】设.在中，由余弦定理，得.于是，四边形的面积为 .因为，所以当时，即时，四边形的面积最大.追踪训练一1. 如图，用两根绳子牵引重为的物体，两根绳子拉力分别为，保持平衡如果，与夹角（）求的大小（精确到）；（）求与的夹角的值（精确到.）答案：（） （）2. 从高的电视塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为和，求这两个点之间的距离答案：3在ABC中，若，B=450，ABC的面积为2，那么，ABC的外接圆直径为【选修延伸】【例3】中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角， 求最大角的余弦值； 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【解】设三边， 且， 为钝角， ，解得， 或，但时不能构成三角形应舍去，当时，；设夹角的两边为，听课随笔所以，当时，追踪训练二1我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ B ）A 50 B C D 2在ABC中，若，则与的大小关系是 （ A ）A 大于 B 大于等于 C 小于 D 小于等于解： 3两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向应与原方向的夹角为 【师生互动】学生质疑教师释疑第9课时 解三角形复习课(1)、(2)学习要求 1 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；2 能利用计算器解决三角形的计算问题。【课堂互动】自学评价1正弦定理：txjy(1)形式一：= 2R ；形式二：；（角到边的转换）形式三：，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解） 2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出那么解的个数为：若，则无解；若，则一解；若，则两解；2余弦定理：txjy(1)形式一：，听课随笔形式二：，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1) 若a2tanB=b2tanA；(2) b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;(3) (3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A + B)sin(A B)=0 A + B=90o 或 A B=0所以ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, B + C=90o, A=90o,故ABC是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=12sincos+ sin(A + B) 2coscos+ 2cos2- 1=02sincos+ sin(A + B) 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0ABC是Rt.二、三角形中的求角或求边长问题【例2】ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使DEF是等边三角形.设FEC=，问sin为何值时，DEF的边长最短？并求出最短边的长。分析：要求最短边的长，需建立边长关于角的目标函数。【解】设DEF的边长为x，显然C=90，B=60，故EC=xcos。因为DEC=DEF+=EDB+B，所以EDB=。在BDE中，由正弦定理得，听课随笔所以 ，因为BE+EC=BC，所以，所以 当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。【例3】在ABC中，已知sinB=, cosA=, 试求cosC的值。【解】由cosA=，得sinA=, sinBsinA, B中能是锐角 cosB=,又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB cosAcosB=.【例4】在ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.【解】设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且DE=在BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，【例5】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且. （）求的值；（）若，求bc的最大值. 【解】() = = () 听课随笔,又 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.三、解平面几何问题【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。 分析：连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出A、C，这可由余弦定理列方程求得。【解】四边形ABCD的面积S=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运追踪训练一1. ABC中a=6,b=6 A=30则边C=（ C ）A、6 B、12 C、6或12 D、62. ABC中若sin(A+B) ，则ABC是（ B ）A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形3. ABC中若面积S=则C=（ C ）A B C D4.ABC中已知A=60，AB =AC=8：5，面积为10，则其周长为 20 ;5.ABC中A：B：C=1：2：3则a：b：c= 1:2 . 【选修延伸】四、解实际应用问题【例7】某观测站C在A城的南偏西20方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。【解】由已知得CD=21，BD=20，CB=31，CAD=60。设AD=x，AC=y。在ACB和ACD中，分别由余弦定理得，听课随笔人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。五、证明三角恒等式【例8】在ABC中， 求证： + +=0.【证明】因为 =4R2(cosB cosA),同理 =4R2(cosC cosB)=4R2(cosA cosC).所以左边=4R2(cosB cosA) + 4R2(cosC cosB) + 4R2(cosA cosC)=0 得证.【例9】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a, b, c, 证明：。【证明】由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，所以=。故等式成立。追踪训练二1ABC中若面积sinAcosBsinB=sinCsinAcosC 且周长为12，则其面积最大值为 36(3);2ABC中已知sin(A+B)+sin(A+B)=,cos(A+B)+cos(A+B)= 求角A和B【解】 听课随笔 3ABC中已知A=30cosB=2sinB求证：ABC是等腰三角形 设D是ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2 求：的值【解】 从而ABC是顶角为A的等腰三角形。在ABC中由正弦定理 在BCD中由正弦定理 听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑第二章 数列【知识结构】数 列定 义应 用通项公式数列求和等差数列等比数列定义通项公式等差（比）数列前n项和公式性质【重点难点】重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n项和与通项公式的关系及其求法；听课随笔难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；等差等比数列的应用和性质。第1课 数列的概念及其通项公式【学习导航】 知识网络 项数数列数列定义项数列有关概念数列与函数的关系数列通项公式通项学习要求 1理解数列概念，了解数列的分类；2理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列； 3理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；4提高观察、抽象的能力【自学评价】1数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做叫做数列(sequence of number).【注意】数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.思考:简述数列与数集的区别.数列强调数列中的项是有顺序的，数列中的项可以是相等的，与数集中的无序性和互异性是不同的. 2数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n 项，.3数列的分类：按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）；4数列的通项公式：如果数列的第项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项5. 数列的图像都是一群孤立的点. 从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象6数列的表示形式：列举法，通项公式法和图象法【精典范例】【例1】 已知数列的第项an 为，写出这个数列的首项、第项和第项【解】首项为；第项为；第项为【例2】根据下面数列的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：【解】（1） (2) 【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1），-， ，-.（2）0, 2, 0, 2分析：写出数列的通项公式，就是寻找与项数的对应关系【解】(1) 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是： (2) 这个数列的奇数项为0，偶数项为2，所以它的一个通项公式是：点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号相关且便于表达的关系.【追踪训练一】1下列解析式中不是数列1，-1，1，-1，1，-1，的通项公式的是 （ A ）A. B. C. D. 听课随笔2数列的一个通项公式是 （ B ）A. B. C. D. 3数列的一个通项公式为.【选修延伸】【例3】在数列an中，a1=2,a17=66，通项公式是项数n的一次函数.(1)求数列an的通项公式；(2)88是否是数列an中的项.【解】 (1)设an=An+B,由a1=2,a17=66得an=4n2(2)令an=88,即4n2=88得n=N*88不是数列an中的项.思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有