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1 / 3 反函数性质的应用 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 反函数性质的应用 只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。 利用反函数的定义求函数的值域 例 1：求函数 y=的值域。 分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由 y=得 y(2x+1)=x-1 ( 2y-1)x=-y-1 x= x 是自变量，是存在的， 2y -10， y 。 故函数 y=的值域为： yy 。 点评：形如 y=的函数都可以用反函数法求它的值域。 原函数与反函数定义域、值域互换的应用 例 2：已知 f(x)=4-2，求 f(0)。 分析：要求 f(0)，只需求 f(x)=0时自变量 x 的值。 2 / 3 解：令 f(x)=0，得 4-2=0， 2 （ 2-2） =0， 2=2 或 2=0（舍）， x=1 。 故 f(0)=1。 点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成 立。 原函数与反函数的图像关于直线 y=x对称的应用 例 3：求函数 y=（ x(-1， +)）的图像与其反函数图像的交点。 分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线 y=x 对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线 y=x上。 解：由得或 原函数和反函数图像的交点为（ 0， 0）和（ 1， 1）。 点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线 y=x 对称的性质，可以简化运算，提高准确 率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线 y=x上。 原函数与反函数的单调性相同的应用 例 4：已知 f(x)=2+1 的反函数为 f(x)，求 f(x)1 得 f(x)中的 x1。 又 f(x)0 且 f(x)=2+1 在 R 上为增函数， ff(0) ， x& lt;f(0)=2。 故 f(x)0 的解集为： x1x2 。 点评：利用原函数与反函数的单调性相同的性质，可以避免求反函数这一复杂的运算，从而减少了失误。 原函数与反函数的还原性即 x 及 =x的应用 例 5：函数 f(x)=(a、 b、 c 是常数 )的反函数是 =，求 a、 b、c 的值。 分析：本题可以利用 =x，将反函数的条件转化为原函数的关系来应用，利用恒等找到关于 a、 b、 c 的方程组，即可求解。 解： = =x (3a+b)x -a+2b=(c+3)+(
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