工程力学20-j8b(例题).ppt

工程力学（C）,北京理工大学理学院力学系韩斌,(20),8.4虚位移原理,虚位移原理,具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是：,虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。,虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。,对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统：,对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：,对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。,若系统全部为有势力作功时，虚功方程为,（8.33）,比较7与8：,2.虚位移原理的应用,（1）对自由度为k的系统（机构）有k个独立的广义坐标、k个独立的广义虚位移,j=1,k,（2）对自由度为零的系统（静定结构）求约束处的约束力,自由度为零，系统无虚位移,解除一个约束，代之以相应的待求约束力（视为未知大小的主动力）,系统变为k=1的机构，按(1)求解未知约束力,若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出一个约束力,解题指导,（1）对系统，正确写出虚功方程：,（8.32）,是全部作功的力的虚功之和,正确找出全部作功之力，正确写出虚功,（2）虚功方程中的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式,（3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零。,例题5,8虚位移原理,例题,杆OD、CE、CB、DB，弹簧AB，刚度为k，弹簧未变形时，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求当角为平衡位置时，P？,解：1.分析,拆除弹簧AB，,用、表示弹簧对刚体系统的作用,系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功。,例题5,8虚位移原理,例题,系统自由度为1，可选为广义坐标。,2.列虚功方程,系统中作功的力：主动力，弹簧力，,弹簧伸长量,故弹簧力的大小为,方法一,l,l,l,l,l,l,例题5,8虚位移原理,例题,建立坐标系Oxy,各力的虚功表示为：,利用解析法建立虚位移的关系：,l,l,l,l,l,l,例题5,8虚位移原理,例题,系统的虚功方程为,即,由于,例题5,8虚位移原理,例题,方法二,不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）,虚功方程为,由,同理可得,例题6,8虚位移原理,例题,AB、BC、CD为三根等长、等重的均质杆，与铅垂墙壁连成正方形ABCD，并用柔绳EH拉住，E、H分别为AB、BC的中点，各杆重Q，求柔绳的拉力。,例题6,8虚位移原理,例题,解：1.分析,系统的自由度为0,静定结构,2.列虚功方程(几何法）,例题6,8虚位移原理,例题,且,代入上式,此机构中，杆AB，DC为定轴转动，杆BC为平动，可判断E，G，H各点的虚位移方向。,（拉力）,例题7,8虚位移原理,例题,杆AB、CD由光滑铰链C相连，在AB杆的B端作用一铅垂力，在CD杆上作用一力偶，其力偶矩为M，不计杆重，求A端的约束反力。,例题7,8虚位移原理,例题,解：系统的自由度为0,可依次拆除A端的几个约束，将相应约束力看作主动力求解。,例题7,8虚位移原理,例题,(1)求,去掉A端的转动约束，用约束力偶矩MA代替。,AB定轴转动，CD一般平面运动，瞬心为P，,P,AB的虚转角,CD的虚转角为,则,例题7,8虚位移原理,例题,列虚功方程：,代入,（）,例题7,8虚位移原理,例题,(2)求,去掉A端的水平约束，用约束力FAx代替。,AB、CD只能作平动,例题7,8虚位移原理,例题,(3)求,去掉A端的铅垂约束,系统自由度为1,主动力：,AB平动，CD瞬心为P,P,设CD的虚转角为,则有,列虚功方程：,例题7,8虚位移原理,例题,即,（）,9.5质点系平衡的广义力,1.广义力以广义力表示的系统平衡条件,虚功方程,称为广义坐标对应的广义力,因此，虚功方程可写为,2.广义力的计算,由于各个独立,这组虚位移下系统的虚功为：,3.有势力场质点系的平衡问题,设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能V,或选取广义坐标,与相应的广义力：,各有势力直角坐标下的投影Fi与势能的关系,则系统的元功,选取直角坐标xi,平衡条件：,或,4.有势力场中质点系平衡的稳定性,例如：考虑自重的杆的平衡问题。,即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值（或）的位形处。,以下仅讨论单自由度系统：,当q在附近时，略去二阶以上小量,注意到，因处于平衡位置，所以,则,在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：,(1)取极小值,(2)取极大值,(3)拐点,(4)不变化,q对应的广义力,则,(a)当时，有,势能V在处取极小值，广义力Q与广义位移的增量的符号相反。,Q可使质点恢复到平衡位置。,(b)当时，有,势能V在处取极大值，广义力Q与广义位移的增量的符号相同。,Q可使质点离开平衡位置。,q对应的广义力,(c)当时，需考察V=V(q)更高阶导数,(d)当V=V(q0)=const时，广义力为零，随遇平衡,在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为最小，称为最小势能原理。,三铰刚架受力如图，求C端的约束力。,例题8,8虚位移原理,例题,系统的自由度为2。,主动力：,例题8,8虚位移原理,例题,解：此为静定结构，自由度为0，C端约束力有，去掉C端约束，,计算这两个广义坐标相应的广义力Q1和Q2：,例题8,8虚位移原理,例题,计算系统的虚功：,(1)令,此时BC相对于AB静止，整个系统绕A定轴转动：,AB不动，BC以B点为基点定轴转动：,例题8,8虚位移原理,例题,（2）令,系统的虚功为：,例题8,8虚位移原理,例题,（3）广义力平衡条件,均质杆OA、OB以光滑铰链连接，OA杆O端与固定铰支座铰接。两杆长分别为、，重分别为、，现在B端作用一水平力,试求平衡时角、各为多少？,例题9,8虚位移原理,例题,解：系统自由度为2，,主动力：,(1)广义坐标：,计算广义力,例题9,8虚位移原理,例题,(2)令,相当于OAB为刚体绕O点转动，O为基点。,例题9,8虚位移原理,例题,(3)令,相当于刚体OA不动，刚体AB绕A点转动，A为基点。,例题9,8虚位移原理,例题,(4)平衡条件,例题9,8虚位移原理,例题,由,由,例题10,8虚位移原理,例题,取为广义坐标，(即BD与铅直轴夹角)。,拆除弹簧,用弹簧力代替。,设AC在水平位置时两弹簧的初压缩量,例题10,8虚位移原理,例题,的零势点取为B，弹簧的零势点取其自然状态。,系统的势能：,由,=0为平衡位置,例题10,8虚位移原理,例题,稳定平衡的条件为：,例题10,8虚位移原理,例题,由求导：,例题11,8虚位移原理,例题,放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆柱薄壳（