函数的单调性讲义.doc

函数的单调性基础盘查一函数的单调性1判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()2(人教A版教材习题改编)函数yx22x(x2,4)的增区间为_3若函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则k的取值范围是_基础盘查二函数的最值4判断正误(1)所有的单调函数都有最值()(2)函数y在1,3上的最小值为()5(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)(x2,6)，则函数的最大值为_【答案】1(1) (2) (3) (4) (5)；22,4；3；4(1) (2)；52必备知识1：单调性的定义设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)设x1，x2a，b，如果0，则f(x)在a，b上是单调递增函数，如果0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选C.【例2】判断函数g(x)在(1，)上的单调性【解】任取x1，x2(1，)，且x1x2，则g(x1)g(x2)，因为1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)f(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a，又f(x)是R上的减函数，f(a21)f(a)【例7】(2014广州模拟)已知函数yf(x)的图象关于x1对称，且在(1，)上单调递增，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为 ()AcbaBbacCbcaDabc【解析】选B函数图象关于x1对称，aff，又yf(x)在(1，)上单调递增，f(2)ff(3)，即bac.角度三：解函数不等式【例8】f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)【解析】选B211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值【例9】已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围为()A(，2)BC(，2 D【解析】选B由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是 .类题通法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.一、选择题1下列说法中正确的有()若x1，x2I，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则yf(x)在I上是增函数；函数yx2在R上是增函数；函数y在定义域上是增函数；y的单调区间是(，0)(0，)A0个 B1个C2个 D3个【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而不对；yx2在x0时是增函数，x0时是减函数，从而yx2在整个定义域上不具有单调性；y在整个定义域内不是单调递增函数，如3f(5)；y的单调递减区间不是(，0)(0，)，而是(，0)和(0，)，注意写法2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)【解析】选A由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,23(2015黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则()AfffBfffCfffDfff【解析】选B由题设知，当x1时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，而x1为对称轴，ffff，又f，即fff.4定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12【解析】选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.5函数y|x3|x1|的()A最小值是0，最大值是4 B最小值是4，最大值是0C最小值是4，最大值是4 D没有最大值也没有最小值【解析】选C y|x3|x1|作出图象可求6已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果x1x20且x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A可能为0 B恒大于0C恒小于0 D可正可负【解析】选C由x1x20不妨设x10. x1x20，x1x20. 由f(x)f(x)0知f(x)为奇函数又由f(x)在(，0)上单调递增得，f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.故选C.二、填空题7已知函数f(x)为R上的减函数，若ff(1)，则实数x的取值范围是_【解析】由题意知f(x)为R上的减函数且f1，即|x|1，且x0.故1x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，f(x)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.【解】(1)设x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1. f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1