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文档简介

1向量的内积、长度及正交性,一、内积的定义及性质,二、向量的长度及性质,三、正交向量组的概念及求法,四、正交矩阵与正交变换,1.定义1,内积,一、内积的定义及性质,(Innerproduct),2.内积的运算性质,1.定义2,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,(norm),单位向量,2.,解,夹角,1、正交的概念,、正交向量组的概念,正交,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,(orthogonal),证明,、正交向量组的性质,定理1,4、正交单位向量组,每个向量都是单位向量的正交向量组.,5、向量空间的正交基,例1已知三维向量空间中两个向量,正交，试求使构成三维空间的一个正交基.,即,解之得,由上可知构成三维空间的一个正交基.,则有,解,6、规范正交基,例如,定义,(标准),同理可知,7、求规范正交基的方法,下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalizationsmethod）,(2)单位化,取,(1)正交化,取，,解先正交化，,取,施密特正交化过程,再单位化，,得规范正交向量组如下,例,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,定义4,四、正交矩阵与正交变换,定理A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交,例判别下列矩阵是否为正交阵,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,例判别下列矩阵是否为正交阵,所以它是正交矩阵,由于,正交矩阵的性质：,定义若P为正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换,性质正交变换保持向量的长度不变,证明,1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化,五、小结,2为正交矩阵的充
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