线性代数课件5-3相似矩阵与方阵对角化.ppt

只需寻找,3对称方阵对角化和二次型化标准形,使二次型,转换为标准形,正交变换,要判断曲线、曲面形状,只需将曲线、曲面方程转化为标准方程,只需寻找,本章中心,本章结构：,二次型的定义及矩阵表示正交向量组特征值与特征向量方阵对角化的充要条件对称方阵对角化二次型化标准型,本节重点：,(1)求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵；,(2)求正交变换将二次型化为标准形。,复习,n阶矩阵A可对角化,A有n个线性无关的特征向量.,求n阶特征值和特征向量的方法：,1.,求特征多项式,就是n阶矩阵A的特征值；,2.,求特征方程,的根,的非零解，,3.,求解齐次线性方程组,就是n阶矩阵A的特征向量.,一、对称矩阵一定能对角化,引理1对称矩阵的特征值为实数.,引理2对称矩阵的不同特征值的,特征向量正交.,推论:对称矩阵的特征向量都是实向量.,r重根，则,特征向量.,r,个线性无关的,恰有,引理3设A为n阶对称矩阵,的特征方程,从而特征值,分析：,（1）设对称阵A有m个不同特征值,它们的重数依次为,（2）相应于,恰有,个线性无关的特征向量,（3）,为可逆阵，且有,得知对称方阵A一定可以对角化,其中,定理1设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q,使,对称方阵A一定可以对角化，而且相似变换阵不唯一.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,步骤：,（1）设对称阵A有m个不同特征值,它们的重数依次为,（2）相应于,恰有,个线性无关的特征向量,，把它们正交单位化得，,（3）,为正交阵，且有,例1求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,解：,（1）A的特征多项式为,故A的特征值为,（2）相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,例1求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,例1求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,例1求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,（3）正交相似变换矩阵取为,例2求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,解：,（1）A的特征多项式为,故A的特征值为,（2）相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,将对称矩阵,对角化。,例2求一正交相似变换阵,相应于,无关的特征向量有两个，满足,的特征向量满足,将对称矩阵,对角化。,例2求一正交相似变换阵,满足,且正交的特征向量,可取为,单位化得,将对称矩阵,对角化。,例2求一正交相似变换阵,（3）正交矩阵为,三、正交变换化二次型为标准形,总有正交变换x=Py，使f化为标准形,定理2,例3求一个正交变换x=Py，把二次型,化为标准形.,解,二次型的矩阵为,正交相似变换矩阵取为,所做正交变换为x=Qy，即,标准形为：,（1）判断二次曲线,的形状；,（2）判断二次曲面,的形状。,下面解决本章第一次课所提的问题：,（1）判断二次曲线,的形状.,解：,令,其矩阵为,A的特征多项式为,故A的特征值为,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,正交矩阵为,所做正交变换为,二次型的标准形为：,二次曲线的标准方程为：,该曲线为双曲线.,（2）判断二次曲面,的形状.,解：,其矩阵为,A的特征多项式为,故A的特征值为,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量有两个，满足,的特征向量满足,满足,且正交的特征向量,可取为,单位化得,正交矩阵为,所做正交变换为,二次型的标准形为,二次曲面的标准方程为,二次曲面的形状为,旋转双曲面,三、Lgrange配方法化二次型为标准形,下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变,问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？（不要求形状不变）,拉格朗日配方法的步骤：,1.若二次型含有,的平方项，则先把含有,的乘积项集中，然后配方，,进行，,直到都配成平方项为止，,再对其余的变量同样,就得到标准形;,经过可逆性变换，,2.若二次型中不含有平方项，但是,含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,化二次型为,则先作可逆线性变换,例4,所做可逆变换为,而我们曾用正交变换,化标准形为：,比较,例5,做可逆变换,不含平方项,再做可逆变换,，得标准型为,我们曾在正交变换之下化标准型为,.,比较,注：,二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：,(1)所含平方项个数相同，都等于矩阵A的秩；,(