无穷大(小)与运算律.ppt

1,例如,注意:,（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆。,（1）常数零是唯一一个作为无穷小的的数。,问：y=f(x)=0.0001是否某变化过程下的无穷小量？,第2.4节无穷小与无穷大,一、无穷小,则称f(x)是xX下的无穷小量,柯西定义:即某邻域上有|f(x)0|,0,通常本书xX下的无穷小记为：,a(x)；b(x)；,可以证明：,所以函数sinx是当x0时的无穷小量.,即某邻域下有|f(x)|,2,二、无穷大量,定义1:某过程下,因变量绝对值无限增大的变量称为无穷大,由函数的图形，问：,=,更进一步，还可区分出是+，还是。,如：,三、无穷小与无穷大的关系,若f(x)为无穷大,则,为无穷小;,若f(x)为无穷小,且,则,为无穷大.,定理1在自变量的同一变化过程中,记为：,显然,3,四、无穷小量与函数极限的关系,必要性:,定理2,用柯西定义可证,定理3.若|g(x)|M,a(x)无穷小,则,提示:因在某邻域上|a(x)|/M,所以,五、无穷小量的性质.,如：,其中：,其中x,(有界函数与无穷小之积为无穷小),即无穷小与有界变量之积为无穷小.,则在某邻域上有|f(x)a|,于是,f(x)a=(x)，即f(x)=a+(x)，充分性略.,因而g(x)(x)是无穷小.,4,一、极限四则运算法则,定理4设,更正,(无穷小的倒数是无穷大),下面给出简单函数的四则运算构成的较复杂函数的极限性质.,注:定理3的(1)、(2)可以由归纳法推广到有限个函数的情况）即:,由条件在某邻域上有,5,=x,其中前面已用定义证明：,特别当：,注:定理3的(1)、(2)可以由归纳法推广到有限个函数的情况）即:,6,前面已经推出计算公式：,以后利用复合函数连续性质可证明(n为正整数)：,其中函数,不存在.,特别在极限四则运算中,若,于是有无穷小的以下性质.,7,推论1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,=0,推论4有极限的函数与无穷小的乘积是无穷小。,推论3常数(显然有界)与无穷小的乘积是无穷小.,推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.,例已知,确定型,=0,=0,注：无穷大与无穷大(非零常数)之积为无穷大,无穷大与常数的代数和是无穷大,同符号无穷大之和为无穷大.如:,不存在,8,是待定型，如,记此类无穷小商极限,但极限四则运算中,若,无意义,注：本书将讨论7种待定型极限，其中,是常见的一种，我们将引入性质介绍其解法.,9,二、求极限方法举例,例1,解,有理函数,(无穷小的倒数是无穷大),问：x的极限,其中,称为多项式函数,方法:先将有理函数的分子分母同除x的最高次幂.,答：原式=,10,分析：当x1时，分子分母均为无穷小量，,例2,(消去零因子法),待定型,解:,所以不能直接用极限的四则运算法则，将其分解出因子(x1)再求极限。,称为有理函数极限,11,小结:,=,=,1.直接用商的极限,2.倒数是否无穷小,稍后讨论一般形如,的计算公式,m和n为非负整数时有,方法:首先将有理函数的分子分母同除x的最高次幂,再利用性质计算.,为此先定义“高阶无穷小”等4个定义作准备.,12,三、无穷小的比较,例如,通常用希腊字母a,b表示某过程下的无穷小,观察各极限,两个无穷小的和、差、积为无穷小，但商是待定型,sinx与2x趋于0的速度大致相同,x2趋于0的速度比3x要快得多,3x趋于0的速度比x2要慢得多,sinx与x趋于0的速度相同,称x2是比3x高阶的无穷小量,称3x是比x2低阶的无穷小量,称sinx与x等价无穷小量,称sinx与2x同阶无穷小量,13,定义:,下面利用等价无穷小计算某些,(4)特别,如果,14,四、等价无穷小代换(仅介绍常见的因式替换定理),定理(等价无穷小代换定理),证,易,难,作用,一般有：,其中：,切记：不能在加减运算求极限时使用等价无穷小代换.,因为：,15,常见的等价无穷小：,可以证明，当x0时,错:不能在加减运算中使用等价无穷小代换,改正,解：原式,当变量为t时？,当t0时,以上7个等价无穷小可由本章稍后二个重要极限证明,特别当xX时,t=g(x)0,则有,注:可证,16,等价无穷小的一般形式：,如果当xX时,t=g(x)0,则有,练习题,答:原式=,2,如x1时,t=g(x)=(x1)0，则sin(x1)(x1),17,根式函数,答：注意到公式,当,不是上面6种常见的等价无穷小,则具体情况具体分析。如,18,分析：由于有二个参数a；b，需构造两个方程求解。,P93第17题：已知,求a=?,b=?,代入给定的极限中有：,所以分子的极限必为零，否则极限为，与已知矛盾。,由前面的讨论有：b=a1，2a5,所以：a=7b6,即原极限必为,的待定型,19,思考：p9815题,由有理函数的极限知：当a=0时,课外：,解：令,由条件有：,当a0有,矛盾,所以a0,b,c为任意实数,跳过,20,由有理函数的极限知：若a0,则原函数极限为0，与已知条件矛盾,于是a=0。,(有理函数极限）,所以有：a=0,b=1,c为任意实数,答：由条件有：,再由条件得：b=1,c为任意实数。,则原式,21,例5,解：x=0是函数的分段点，两个单侧极限为,左右极限存在且相等,2,22,强调本章求极限的几个重要基本性质(掌握),4.无穷小与无穷大的关系,5.有界函数与无穷小之积为无穷小,6.极限四则运算,推论,注意a=b=0情况,23,注意:如果有常数a使得,(1)无穷大量,(2).无界振荡或有界振荡。,(3).左、右极限存在，但不相等。,过程下有极限,否则称函数无极限.无极限有三种情况:,称函数f(x)在该,24,思考题,在某个过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，那么f(x)+g(x)是否有极限？为什么？,思考题解答,答：没有极限，反证，假设f(x)+g(x)有极限,设h(x)=f(x)+g(x),