矩阵乘积的行列式与秩.ppt

主要内容,矩阵乘积的行列式,第三节矩阵乘积的行列式与秩,矩阵乘积的秩,一、矩阵乘积的行列式,定理1设A，B是数域P上的两个nn矩,阵，那么,|AB|=|A|B|，(1),即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘,证明,这个定理就是第二章第八节的,积.,用数学归纳法，定理1不难推广到多个因子的,情形，即有,推论1设A1,A2,Am是数域P上的nn,矩阵，于是|A1A2Am|=|A1|A2|Am|.,定义9数域P上的nn矩阵A称为非退,化的，如果|A|0；否则称为退化的.,显然，一nn矩阵是非退化的充分必要条件,是它的秩等于n.,推论2设A，B是数域P上的nn矩阵,矩阵AB为退化的充分必要条件是A，B中至少有,一个是退化的.,二、矩阵乘积的秩,关于矩阵乘积的秩，我们有：,定理2设A是数域P上的nm矩阵，B是,数域P上的ms矩阵，于是,秩(AB)min秩(A),秩(B).,即乘积的秩不超过各因子的秩.,(2),证明,为了证明(2)，只需要证明,秩(AB)秩(A)与秩(AB)秩(B),同时成立即可.,现在来分别证明这两个不等式.,设,令B1,B2,Bm表示B的行向量，C1,C2,Cn,表示AB的行向量.,由计算可知，Ci的第j个分量,和ai1B1+ai2B2+aimBm的第j个分量都等于,因而,Ci=ai1B1+ai2B2+aimBm(i=1,2,n),即矩阵AB的行向量组C1,C2,Cn可经B的行向,量组线性表出.,所以AB的秩不能超过B的秩，即,秩(AB)秩(B).,同样，令A1,A2,Am表示A的列向量，D1,D2,Ds表示AB的列向量.,由计算可知，,Di=b1iA1+b2iA2+bmiAm(i=1,2,s).,这个式子表明，矩阵AB的列向量组可以经矩阵A,的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后,者的秩，这就是说，,秩(AB)秩(A).,证毕,用数学归纳法，定理2不难推广到多个因子的,情形，即有,推论3如果A=A1A2At,那么,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内