[课件资料]复件 概统ch2

随机变量及其分布,第2章,为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.无论什么随机试验，可用一个变量的不同取值来描述其全部可能结果。,例(1)随机地掷一颗骰子，表示出现的点数,:出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点出现6点,X():123456,(2)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间,候车时间,X()0,10,2.1随机变量,设是试验E的样本空间,若,则称X()为上的随机变量，简记r.v.X=X().,r.v.一般用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示.,定义,通俗地讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。,此映射具有如下特点,例1某银行办理有奖储蓄，100000张为一组，设一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金100元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金1元；其余无奖。设某人买一张奖券，其中奖情况为一随机变量，可表示成下面三种。1)得奖金额的样本空间为：0元，1元，10元，100元，1000元则表示得奖金额的随机变量为：,2)得奖等级的样本空间为：1等奖，2等奖，3等奖，4等奖，无奖我们用数“5”表示无奖，则表示得奖等级的随机变量为：,3)是否得奖的样本空间为得奖，不得奖我们用数“1”表示得奖，用数“0”表示不得奖，则表示得奖的随机变量为：,离散型,非离散型,r.v.分类,引入r.v.重要意义,任何随机现象可被r.v.描述,借助微积分方法将讨论进行到底,2.2离散型随机变量及其概率分布,定义,若随机变量X的可能取值是有限个或可数无穷个,则称X为离散型随机变量,描述X的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,X,或,分布列中的称为X的概率函数，它满足,注意,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,例1设袋中装着分别标有-1，2，2，2，3，3数字的六个球，现从袋中任取一球，令X表示取得球上所标的数字，求X的分布律。解：X的可能取值为-1，2，3，且容易求得故X的分布律为,(1)01分布（两点分布）,是否超标等等.,常见离散r.v.的分布,凡试验只有两个结果,常用01,分布描述,如产品是否合格、人,口性别统计、系统是否正常、电力消耗,0p0为常数,对于任意的0ab,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,(3)正态分布,若X的d.f.为,则称X服从参数为,2的正态分布,记作XN(,2),为常数，,亦称高斯(Gauss)分布,N(-3,1.2),f(x)的性质：,图形关于直线x=对称,即,在x=时,f(x)取得最大值,在x=时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点,曲线y=f(x)以x轴为渐近线,f(+x)=f(-x),f(x)的两个参数：,位置参数,即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同,形状参数,固定，对于不同的，f(x)的形状不同.,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差；人体的生理特征；,工厂产品的尺寸；农作物的收获量；,海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；,热噪声电流强度；学生的考试成绩；,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,其值有专门的表供查.,标准正态分布N(0,1),密度函数,-x,x,对一般的正态分布：XN(,2),其分布函数,作变量代换,例4设XN(1,4),求P(0X1.6),解,求P(X0时，,当a0时，,故,解：设Y的分布函数为FY(y)，,FY(y)=PYy=P(2X+8y),=PX=FX(),于是Y的密度函数,故,注意到0x4时，,即8y16时，,此时,Y=2X+8,从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，关键的一步是设法从g(X)y中解出X,从而得到与g(X)y等价的X的不等式.,这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.,其中，,此定理的证明与前面的解题思路类似.,x=h(y)是y=g(x)的反函数,定理1设X是一个取值于区间a,b，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,注1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数；2、注意定义域的选择。,例4已知XN(,2),求,解,的概率密度,关于x严格单调，反函数为,故,例5设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.