线性系统第二次大作业.doc

基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统BOBO稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析目录第一章 矩阵论基础- 1 -1.1子空间与不变子空间- 1 -1.2 线性定常系统解的结构- 1 -第二章 控制论的相关概念- 2 -2.1稳定性理论- 2 -2.2 能控性与能观性- 2 -第三章 基于不变子空间的系统分析- 3 -3.1 不变子空间与系统的解集结构- 3 -3.2不变子空间与能控能观性- 4 -3.2.1 不变子空间与能控性- 4 -3.3不变子空间与卡尔曼分解- 6 -第四章 BIBO稳定性和李雅普诺夫稳定的关系- 10 -4.1 BIBO稳定的充要条件- 10 -4.2 李雅普诺夫稳定的充要条件- 10 -4.3 渐进稳定的充要条件- 11 -4.4 内部稳定必定BIBO稳定- 11 -4.5 外部稳定不一定内部稳定- 11 -4.6 临界稳定不一定BIBO稳定- 12 -4.7 特定初态的内部稳定性- 14 -4.8 内部稳定与BIBO稳定等价条件- 14 -4.9 初始状态，输入矩阵，输出矩阵对状态稳定的影响- 15 -第五章 总结- 17 -第六章 参考文献- 18 -第一章 矩阵论基础1.1子空间与不变子空间1.1.1子空间设是数域上线性空间的非空子集，则是的线性子空间的充要条件是：a) 若 b)1.2.1不变子空间设T是线性空间V的一个线性变换，又W是V的一个子空间，若对于任意都有，即：则称W是线性变换T的不变子空间。1.2 线性定常系统解的结构考虑线性定常系统：，系统解的结构具有以下形式：从零时刻开始: 从非零时刻开始： ,其中，前一部分是零输入响应，后一部分是零状态响应，反映了线性系统的叠加原理。在之后的分析中，如果没有特别说明，均在零时刻开始讨论。第二章 控制论的相关概念2.1稳定性理论2.1.1 李雅普诺夫稳定性定义：一个平衡状态称为在是李雅普诺夫意义下稳定的，当且仅当对于每个0，存在一个依赖于和的正数，使得若，则，有2.1.2 渐进稳定性定义：在李雅普诺夫稳定的基础上，若在充分接近处起始的每一条运动轨迹，当时是收敛于，则称此平衡状态在是渐近稳定的。2.1.3 BIBO稳定性 定义：输入输出稳定，即对任意一个有界输入信号，系统的输出响应有界。BIBO稳定是零状态响应。2.2 能控性与能观性2.2.1 能控性 能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。线性连续定常系统的能控性定义：如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间内，是系统的某一初始状态，转移到指定的任一终端状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统式能控的。2.2.2能观性 能观性所表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即 如果对于任意给定的输入u，在有限的观测时间，使得根据期间的输出能唯一的确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。从定义可知，能观性表示的是反映状态矢量的能力。第三章 基于不变子空间的系统分析3.1 不变子空间与系统的解集结构3.1.1零状态响应的解集是线性空间 考虑线性定常系统，设u=0时，初始状态为，零输入响应的解集为，易知若A没有重特征值，其所有的特征值所对应的特征向量为组成n维线性空间X的一组基底，且由于：该线性空间及其子空间均为A的不变子空间。任意一个初始状态均可由线性表出，即：则状态产生的零输入响应为： 即是的一组基底，也即零输入响应的解集构成的线性空间由A的特征值与特征向量决定。可知线性空间X与线性空间存在同构映射： 线性定常系统零输入响应解集具有如下特点： （1）在时刻的解为，几何上对应于状态空间中由初始状态经线性变换导出的一个变换点。基此推知, 零输入响应随时间演化的过程,几何上表现为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹。（2）零输入响应即自由运动轨迹的形态,仅由系统的矩阵指数函数惟一决定。不同的系统矩阵A, 导致不同形态的矩阵指数函数,也导致了特征值与特征向量的不同，从而导致了零输入响应解集基本基底的不同，形态不同的零输入响应即自由运动轨迹。这就表明,矩阵指数函数即系统矩阵A包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息。3.1.2特征值与特征向量对零输入响应的影响 由可知：（1） 特征值对系统运动行为具有主导性的作用。若特征值具有负实部，则零输入响应必定随时间衰减到稳态过程；若特征值具有正实部，则零输入响应必随时间扩散至无穷大而不能达到稳态。（2） 特征向量对系统运动行为具有非主导性的作用。如果把状态响应视为各个特征值相应运动模式的一个线性组合，每一个特征值所对应的运动模态即为一种运动模式，特征向量的影响体现在对不同运动模式的“权重”上，所以特征向量只能影响各个运动模式在组合中的比重。由上两节分析可知，系统的零输入响应性能和特征值、特征向量具有直接的相关性。而对于特征值互不相同的系统而言，其n个线性无关的特征向量组成了A的n维不变子空间，此空间与系统零输入响应构成的n维线性空间同构。3.1.3 零状态响应解集的构成考虑线性定常系统，如果A有互不相同的特征值，则其n个线性无关的特征向量构成n维线性空间的一组基底，现在把B（设B是一个n*n矩阵）以列向量的形式展开，可知B的每一个列向量均可由线性表出：则零状态响应的解为： 由上式可知，零状态响应的解集与A的特征值，特征向量，输入矩阵具有直接的关系，零输入响应几何上表现为状态空间中由各个时刻t输入作用等价状态的变换点构成的一条轨迹。3.2不变子空间与能控能观性3.2.1 不变子空间与能控性 能控性反应的是系统在输入u(t)的控制下，状态变量x(t)的转移情况。若以B的列向量所张成的空间不在A任何一个的不变子空间中，则系统完全能控；若以B的列向量所张成的空间在A的某个不变子空间中，则A的这个不变子空间对应的模态是能控的。其余的模态是不能控的。同样只考虑A无重特征值的情形，设B的列向量为，为A的k个线性无关的特征向量，组成了A的k维不变子空间 。设 根据系统的能控性判别矩阵： 可知：当k=n时，即B的列向量不落在A的所有特征向量为基底的线性空间中，系统完全能控。当kn时，即B的列向量落在以A的部分特征向量为基底的线性空间中，即B的列向量落在A的某个不变子空间中，系统不完全能控。系统能控模态为特征向量对应的模态。下面从解集结构上分析能控性，为简单起见，仅考虑单输入单输出线性定常系统，B为列向量，如果B在A的不变子空间中，则以A的特征向量以基底构成的A的不变子空间可线性表出B：系统的解集为： 显然，如果向量，则必定存在一个，可以使得在有限时间内，从而该初始状态能控；如果向量，则无法找到一个，能在有限时间内使得，从而改状态不能控。对于最小系统而言，最小系统(A,B)是完全能控的，令B的列向量为基底的线性空间为，A的所有特征向量张成的空间为，以A的任意n-1个特征向量张成的空间为，因为(A,B)是完全能控的，所以满足的条件是：即以B的列向量所张成的线性空间在A所有特征向量张成的空间中，不在A的任何一个不变子空间中。3.2.2 不变子空间与能观性用同样的分析方法可得，能观性反应的是输出y(t)反应状态变量x(t)的能力。若以C的行向量所张成的子空间不在A任何一个的不变子空间中，则系统完全能观测，若以C的行向量所张成的子空间在A的某个不变子空间中，则A的这个不变子空间对应的模态是能观测的。其余的模态是不能观测的。说明方式与能控性相同，在此不再赘述。对于最小系统而言，最小系统(A,C)也是完全能观测的，令C的行向量为基底的线性空间为，A的所有左特征向量张成的空间为，以A的任意n-1个左特征向量张成的空间为，因为(A,C)是完全能观测的，所以满足的条件是：即以C的行向量为基底的线性空间在A所有左特征向量张成的空间中，不在A的任何一个不变子空间中。3.3不变子空间与卡尔曼分解3.3.1 能控性分解若（A,B）不能控，则能控性矩阵不是行满秩，设其秩是k，取其中线性无关的k个包含B的最小不变子空间的列向量，易验证构成了A的k维不变子空间。现把扩张成n维线性空间的一组基底，令：引入非奇异线性变换： 可使得系统按能控性分解得： 其中 易证：即：非奇异线性变换不改变系统的能控性。3.3.2 能控子空间经非奇异变换后，系统的状态方程写为：把该系统写成两部分，即能控子系统和不能控子系统，如下：能控子系统： 不能控子系统： 现从系统的解集上说明能控子空间是完全能控的。设，系统解集为： 显然，若（A，B）能控，则该子空间由于没有了不能控子空间的影响，可以被控制到空间任意一点。下面从特征值上讨论模态能控性。由于：若为的特征值，则其对应的模态能控；若为的特征值，则其对应的模态不能控。3.3.3 能观性分解仿照能控性，若能观测性矩阵Q=C,CA,CA2,CAn-1 T的秩为m0，则系统的状态不稳定。这时，输出是否稳定跟C有关。 当等于零时，则不稳定模态无法对输出响应有所“贡献”，从而输出收敛，BIBO稳定。 当不为零时，则不稳定模态必定可以通过或者表现出来，从而输出发散，BIBO不稳定。第五章 总结 本文先研究了不变子空间与解集的关系，不变子空间与能控性和能观性的关系，不变子空间与卡尔曼分解的关系，然后利用系统的解集结构，卡尔曼分解，不变子空间等理论分析了系统内部稳定（渐进稳定），李雅普诺夫稳定，领结稳定之间的关系，在此基础上本文还分析了特定状态的能控性与能观性，状态的稳定性。由分析可知，输入输出描述是系统的不完全描述，仅反应了系统完全能控能观部分，所以在以后的系统分析与设计中，不能轻易对消掉相同的零极点。内部稳定的系统一定BIBO稳定，而BIBO稳定的系统仅仅在系统能控能观时才内部稳定。对于某一特定状态而言，其能控性、能观性、状态稳定性，输出稳定性本质上由系数矩阵A决定，如果其落入了A的不变子空间，则在某些情况下，输入输出矩阵的某些分量容易“屏蔽”掉不能控，不能观，不稳定的模态，使得其表现为能控，能观，稳定等性质。一般而言，系统李雅普诺夫稳定要比BIBO 稳定重要。第六章 参考文献1C