二次函数总结

1 / 63 二次函数总结 b， c 是常数， a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一 1二次函数的概念：一般地，形如 y?ax?bx?c平移 m个单位， y?ax2?bx?c 变成 y?ax2?bx?c?m y?ax2?bx?c 沿轴平移：向左平移 m 个单位， y?ax2?bx?c 变成 y?a(x?m)2?b(x?m)?c 四、二次函数 y?a?x?h?k 与 y?ax?bx?c 的比较 2 2 从解析式上看， y?a?x?h?k 与 y?ax?bx?c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 2 / 63 2 2 b?4ac?b2b4ac?b2? y?a?x?，其中 h? ， k? 2a?4a2a4a? 五、二次函数 y?ax?bx?c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?k，确定其 开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为：顶点、与 2 2 3 / 63 2 2 c?、 c?关于对称轴对称的点 ?2h， c?、以及 ?0， y轴的交点 ?0， 0?， ?x2， 0?. 与 x 轴的交点 ?x1， 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与 六、二次函数 y?ax?bx?c的性质 2 y 轴的交点 . ?b4ac?b2?b 1. 当 a?0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x?，顶点坐标为 ? 2a4a2a? 4 / 63 ?b4ac?b2?bb 2. 当 a?0时，抛物线开口向下，对称轴为 x?，顶点坐标为 ?时， y随 x 的增大而增大；当 ?当 x? 2a4a2a2a? bb4ac?b2 x?时， y 随 x 的增大而减小；当 x?时， y 有最大值 2a2a4a 七、二次函数解析式的表示方法 2 1. 一般式： y?ax?bx?c； 2 2. 顶点式： y?a(x?h)?k； 5 / 63 3. 两根式： y?a(x?x1)(x?x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即 b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 y?ax?bx?c 中， a作为二次项系数，显然 a?0 当 a?0时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a?0时，抛物线 开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数 b 6 / 63 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 在 a?0 的前提下， 当 b?0时， ?当 b?0 时， ?当 b?0时， ? 2 b ?0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a b ?0，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a b ?0，即抛物线对称轴在 y轴的右侧 2a b ?0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a 7 / 63 b ?0，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a b ?0，即抛物线对称轴在 y轴的左侧 2a 在 a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 b?0时， ?当 b?0时， ?当 b?0 时， ? 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴 x? 总结： 3. 常数项 c b 在 y 轴左边则 ab?0，在 y 轴的右侧则 ab?0，概括的说就是8 / 63 “ 左同右异 ” 2a y 轴的交点在 x轴上方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正； 当 c?0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0； 当 c?0 时，抛物线与 y轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 总结起来， c决定了抛物线与 y 轴交点的位置 当 c?0时，抛物线与 b， c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 总之，只要 a， 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式， 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 9 / 63 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称 y?ax?bx?c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y?ax?bx?c； 2 2 y?a?x?h?k关于 x轴对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k； 2. 关于 22 y 轴对称 2 10 / 63 y?ax?bx?c 关于 2 y 轴对称后，得到的解析式是 y?ax2?bx?c； 2 y?a?x?h?k关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k； 3. 关于原点对称 y?ax?bx?c 关于原点对称后，得到的解析式是 y?ax?bx?c； y?a?x?h?k关于原点对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k； 4. 关于顶点对称 2 2 2 11 / 63 2 b2 y?ax?bx?c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y?ax?bx?c?； 2a 2 2 y?a?x?h?k关于顶点对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k n?对称 5. 关于点 ?m， 22 n?对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?2m?2n?k y?a?x?h?k关于点 ?m， 12 / 63 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系： 2 一元二次方程 ax?bx?c?0 是二次函数 y?ax?bx?c 当函数值y?0时的特殊情况 . 2 22 图象与 x 轴的交点个数： 13 / 63 0?， B?x2， 0?(x1?x2)，其中的 x1， x2 是一元二次方程 当 ?b?4ac?0时，图象与 x轴交于两点 A?x1， 2 ax?bx?c?0?a? 0?的两根这两点间的距离 AB?x2?x12 当 ?0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当 ?0 时，图象与 x 轴没有交点 . 2. 抛物线 y?ax?bx?c的图象与 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 y?ax?bx?c 中 a， b， c 的14 / 63 符号，或由二次函数中 a， b， c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点 坐标，或已知与 x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 . 2 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a?0时为例，揭示 2 2 y 轴一定相交，交点坐标为 (0， c)； 二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考： 15 / 63 y=-2x2 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如 y?ax2?bx?c 里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a?0，而 b， c 可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数 y?ax2?bx?c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x的最高次数是 2 a ， b， c是常数， a 是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项 二、二次函数的基本形式 二次函数的基本形式 y?a?x?h?k的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 16 / 63 2 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： k?； 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y?a?x?h?k，确定其顶点坐标 ?h， k?处，具体平移方法如下： 保持抛物线 y?ax2的形状不变，将其顶点平移到 ?h， 2 向右 (h0)【或左 (h平移 |k|个单位 【或左 (h 2. 平移规律 在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ” 概括成八个字 “ 左加右减，上加下减 ” 方法二： y?ax?bx?c 沿 y 轴平移 :向上平移 m 个单位， y?ax?bx?c 变17 / 63 成 2 2 y?ax2?bx?c?m y?ax?bx?c 沿轴平移：向左平移 m 个单位， y?ax?bx?c 变成 2 2 y?a(x?m)2?b(x?m)?c 四、二次函数 y?a?x?h?k 与 y?ax2?bx?c 的比较 从解析式上看， y?a?x?h?k 与 y?ax2?bx?c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 b?4ac?b2b4ac?b2? 18 / 63 者，即 y?a?x?，其中 h?， k? 2a?4a2a4a? 2 2 2 五、二次函数 y?ax2?bx?c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 y?ax2?bx?c 化为顶点式 y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴 c?、以及 ?0， c?关于对称轴对称的点 ?2h， c?、与 x 轴的交点 ?x1， 0?， ?x2，0?. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与 y轴的交点 . 19 / 63 六、二次函数 y?ax2?bx?c 的性质 ?b4ac?b2?b 1. 当 a?0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x?，顶点坐标为 ? 2a4a2a? 当 x? bbb 时， y随 x 的增大而减小；当 x?时， y 随 x的增大而增大；当 x?时， y 有最小 2a2a2a 4ac?b2 值 4a 20 / 63 ?b4ac?b2?bb 2. 当 a?0时，抛物线开口向下，对称轴为 x?，顶点坐标为 ?时， y随 ?当 x? 2a4a2a2a? 4ac?b2bb x 的增大而增大；当 x?时， y 随 x的增大而减小；当 x?时， y 有最大值 4a2a2a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： y?ax2?bx?c； 2. 顶点式： y?a(x?h)2?k； 3. 两根式： y?a(x?x1)(x?x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，21 / 63 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与 x 轴有交点，即 b2?4ac?0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 y?ax2?bx?c 中， a 作为二次项系数，显然 a?0 a决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 ab的符号的判定：对称轴 x? b 22 / 63 在 y 轴左边则 ab?0，在 y 轴的右侧则 ab?0，概括的说就是2a “ 左同右异 ” 3. 常数项 c c决定了抛物线与 y 轴交点的位置 总之，只要 a， b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 23 / 63 九、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程 ax2?bx?c?0是二次函数 y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况 . 图象与 x轴的交点个数： 当 ?b2?4ac?0 时，图象与 x轴交于两点 A?x1， 0?， B?x2，0?(x1?x2)，其中的 x1， x2是一元二次方程 ax?bx?c?0?a?0?的两根 这两点间的距离 AB?x2?x1 当 ?0 时，图象与 x轴只有 2 一个交点 ； 当 ?0 时，图象与 x 轴没有交点 .1 当 a?0时，图象落在 x轴的上方，无论 x 为任 何实数，都有 y?0； 2 当 a?0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y?0 2. 抛物线 y?ax2?bx?c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为24 / 63 (0， c)； 3. 二次函数常用解题方 法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函 数 y?ax2?bx?c 中 a， b， c的符号，或由二次函数中 a， b， c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 . 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以 x 为自变量的二次函数 y?(m?2)x?m?m?2 的图像经过25 / 63 原点， 则 m 的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y?kx?b的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y?kx?bx?1的图像大致是 2 2 2 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过 (0,3)， (4,6)两点，对称轴为 x? 5 26 / 63 ，求这条抛物线的解析式。 3 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3 已知抛物线 y?ax2?bx?c 与 x轴的两个交点的横坐标是 1、3，与 y轴交点的纵坐标是 2 确定抛物线的解析式；用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 . 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 二次函数 y?ax2?bx?c 的图像如图 1，则点 M(b,)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图 2所示， ?则下列结论：a 、 b 同号； 当 x=1和 x=3时，函数值相等； 4a+b=0 ； 当 y=-2 时， x 的值只能取 0.其中正确的个数是 A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个 27 / 63 ca (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a， b， c之间的关系，是解决问题的关键 2 例 2.已知二次函数 y=ax+bx+c的图象与 x 轴交于点 (-2， O)、(x1， 0)，且 1O； 4a+cO ，其中正确结论的个数为 ( ) A 1 个 B. 2个 C. 3 个 D 4个 答案： D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax+bx+c=3 的一个根为x=2，且二次函数 y=ax+bx+c的对称轴是直线 2 2 28 / 63 x=2，则抛物线的顶点坐标为 ( ) A(2， -3) B.(2， 1) C(2， 3) D (3， 2) 答案： C 例 4、已知抛物线 y= 125x+x- 22 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 若该抛物线与 x轴的两个交点为 A、 B，求线段 AB的长 【点评】本题是对二次函数的 “ 基本方法 ” 的考查，第问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 函数主要关注：通过不同的途径了解函数的具体特征； 借助多种现实背景理解函数；将函数视为 “ 变化过程中变量之间关系 ” 的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 二次函数对应练习试题 29 / 63 一、选择题 1. 二次函数 y?x?4x?7 的顶点坐标是 ( ) 2 2 2 A.(2, 11) B. C. D. 2. 把抛物线y?2x向上平移 1 个单位，得到的抛物线是 A. y?2(x?1) B. y?2(x?1) C. y?2x?1 D. y?2x?1 3.函数 y?kx?k 和 y? 2 2 2 30 / 63 2 k (k?0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的 ( ) x 4.已知二次函数 y?ax?bx?c(a?0)的图象如图所示 ,则下列结论 : a,b 同号 ; 当 x?1和 x?3时 ,函数值相等 ;4a?b?0当 y?2时 , x 的值只能取 0.其中正确的个数是 ( ) 个 个 C. 3个 D. 4 个 5.已知二次函数 y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标及部分图象 (如图 ), 2 由图象可知关于 x的一元二次方程 ax?bx?c?0的两个根分别是 x1?和 x2? 2 31 / 63 2 . B.- C.- D.- 6. 已知二次函数 y?ax?bx?c 的图象如图所示，则点 (ac,bc)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程 2x?x? 2 2 2 的正根的个数为 x 个 个 个 . 3 个 8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为 32 / 63 A. y?x?x?2 B. y?x?x?2 C. y?x?x?2 或 y?x?x?2 D. y?x?x?2 或 y?x?x?2 2 2 2 2 2 2 二次函数知识点归纳 1.表达式： 一般式： y?ax2?bx?c； 顶点式： y?a?x?h?k 交点式： y=a(x x1)(x x2) 33 / 63 4ac?b2b2.顶点 坐标： 4a2a 4ac?b24ac?b2b3.顶点意义： 当 x?时， a?0， y 有最小值为； a?0， y有最大值为 4a4a2a2 当 x?h 时， a?0， y 有最小值为 k； a?0， y有最大值为 k 的意义： a?0，图象开口向上； a?0，图象开口向下； a1?a2 两函数图象大小形状相同 . 5.对称轴： x?x?xb ； x?h ； x?12 2a2 6.对称轴位置分析： b?0 ，对称轴为 y轴； ab?0 ，即 a、 b异号，对称轴在 y 轴的右侧； ab?0 ，即 a、 b同号，对称轴在 y 轴的左侧； 7.增减 性： a?0 ， x?bb时， y 随 x 的增大而增大； x?2a2a 时， y随 x 的增大而减小； 34 / 63 a?0 ， x?bb 时， y 随 x的增大而减小； x?时， 2a2a y 随 x 的增大而增大 8. 抛物线 y?ax2?bx?c 与 y 轴的交点为， c 值为抛物线在 y轴上的截距 . 9.抛物线与 x轴的交点： ?b2?4ac?0 时，抛物线与 x 轴有一个交点； ?b2?4ac?0 时，抛物线与 x 轴有两个交点；?b2?4ac?0 时，抛物线与 x轴没有交点 . 10.图象的平移：化成顶点式 y?a?x?h?k，上加下减： k?m；左加右减： h?m 11设抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，则 AB? 或 AB?x1?x2? a2 12抛物线上重要的点：抛物线与 x 轴、 y 轴的交点坐标，35 / 63 以及顶点坐标解题中经常会用到， 所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标 . 13 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 根 的 分布： ?b2?4ac?0?b? 若抛物线与 x 轴的两个交点在正半轴上，则 ?x1?x2?0； a?c?x?x?012?a? ?b2?4ac?0?b? 若抛物线与 x轴的两个交点在负半轴上，则 ?x1?x2?0； a?c?x?x?012?a? ?b2?4ac?0? 若抛物线与 x 轴的两个交点分别在正、负两半轴上，则 ? c?x1?x2?0a? 若抛物线与 x 轴的两个交点只 有一个点在 m 14抛物线的变换： 关于 x 轴对称： y?ax2?bx?c 代入 (x, y） y?ax2?bx?c 关于 y 轴对称： y?ax2?bx?cy?ax2?bx?c 关于原点对称： y?ax2?bx?c 代入 ( x, y） y?ax2?bx?c 36 / 63 关于顶点对称： y?a?x?h?k 关于、， a 0时， ax2?bx?c?0解集为 x x1或 x x2； ax2?bx?c?0 时，解集为 x1 x x2；a 0 时， ax2?bx?c?0 解集为 x1 x x2； ax2?bx?c?0 时，解集为 x x1或 x x2 17二次函数与一次函数值的比较： 如图： x x1或 x x2时，二次函数值大于一次函数值； x1 x x2二次函数小于一次函数值 . 二次函数小结与复习教学案 一 . 教学内容： 二次函数小结与复习 二 . 重点、难点： 1. 重点： 体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念； 37 / 63 会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； 会运用待定系数法求二次函数的解析式； 利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思 . 2. 难点： 二次函数图象的平移； 将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策 . 三 . 知识梳理： 1. 二次函数的概念及图象特征 二次函数：如果 通过配方 为对称轴，以 38 / 63 可写成 ，那么 y叫做 x的二次函数 ，它的图象是以直线 为顶点的一 条抛物线 1 3. 二次函数图象的平移规律 抛物线 可由抛物线平移得到 . 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况 . 因此有 39 / 63 关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论 4. 、及的符号与图象的关系 a 决定抛物线的开口方向； a 0. 开口向上； a 0，开口向下 a 、 b 决定抛物线的对称轴的位置： a、 b 同号，对称轴在 y 轴的右侧 . c 决定抛物线与 y 轴的交点的位置： c 0，与 y轴的交点在 y 轴的正半轴上； c 0，抛物线经过原点； 40 / 63 c 0，与 y轴的交点在 y 轴的负半轴上 b2 4ac 决定抛物线与 x轴交点的个数： 当 b2 4ac 0时，抛物线与 x轴有两个交点； 当 b2 4ac 0时，抛物线与 x轴有一个交点； 当 b2 4ac 0时，抛物线与 x轴没有交点 5. 二次函数解析式的确定 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法： 设一般形式：； 设顶点形式：； 设交点式： . 6. 二次函数的应用问题 解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好 二次函数模型，同时还要注意符合实际情景 . 【典型例题】 41 / 63 例 1. 二次函数 y= x2+2x 1 通过向个单位，再向_平移 个单位，便可得到二次函数 y= x2的图象 . 分析： y= x2+2x 1 的顶点为， y= x2 的顶点为，因此可以根据顶点坐标确定平移的方向和距离 . 解： y= x2+2x 1= 2+2， 把二次函数 y= x2+2x 1 向平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，便得到 y= x2 的图象 例 2. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下图所示，则下列5 个代数式： ab， ac， a b+c， b2 4ac， 2a+b 中，值大于 0的个数有 2 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析： 抛物线开口向上， a 0. 42 / 63 对称轴在 y轴左侧， a ， b 同号 . 又 a 0， b 0. 抛物线与 y轴的交点在 x轴下方， c O. ab 0， ac 0. 抛物线与 x轴有两个交点， b2 4ac 0. 对称轴 x= = 1， b=2a. 2a+b 0 当 x= 1 时， y=a b+c 0. 选 C. 例 3. 如图，抛物线 y= x2+2x+m+3 与 x轴交于 A、 B 两点，且 OA： OB=3： 1，则 m的值为 A. B. 0 C. 或 0 D. 1 43 / 63 分析：二次函数的图象与 x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点 A 在原点右侧时， xA=OA；当点 A在原点左侧时， xA+OA=0. 解：设 OB=x，则 OA=3x，则 B， A. x， 3x是方程 x2+2x+m+3=0 的根， x+3x=2， x3x= m 3. 解得 m1=0， m2= . 又 x 0， m= 不合题意 . m=0 ，因此选 B. 例 4. 已知二次函数 y=mx2+x+m 1有最小值为 0，求 m的值 . 分析：二次函数 y=ax2+bx+c 有最大值 a 0. 44 / 63 解： 二次函数 y=mx2+x+m+1 有最小值为 0， 3 即 解得 m=1. 例 5. 已知关于 x的二次函数 y=x2+2x+的图象与 x轴总有交点，求 m 的取值范围 . 分析：这个函数是二次函数，应注意 m+60 这个条件 . 解： 二次函数 y=x2+2x+的图象与 x 轴总有交点， m 且 m 6. 例 6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形 ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为 4. 9m， AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为 4m，宽为 2m的装有集装箱的汽车要通过隧道 . 45 / 63 问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道 顶部？ 分析：由已知条件知，抛物线经过原点 O、 C，顶点的纵坐标为 =2. 5. 由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看 y=4 2. 4=1. 6 时，求出 x 的值 . 解： 由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为 =5，纵坐标为 4. 9 2. 4=2. 5， C点坐标为， 设抛物线的函数关系式为 y=a2+2. 5. 把或代入上式，得 0=25a+2. 5. 解得 a= y= 2+2. 5. . 当 y=4 2. 4=1. 6 时， 1. 6= 2+2. 5. 46 / 63 解得 x1=8， x2=2. x=8 ， OC x=10 8=2. 故汽车离开右壁至少 2米，才不会碰到顶部 . 4 点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意顶点纵坐标是而不是 4. 9；求出的 x=2是汽车的右侧离开隧道右壁的距离，若改为 “ 汽车离开隧道壁多少米才不至于碰隧道顶部 ” ，则x1=2， x2=8都合题意 . 例 7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口 A处，如图 . 如果空投物资离开 A 处后下落的垂直高度 AB=160 米时，它到 A处的水 平距离为 BC=200 米，那么要使飞机在垂直高度 AO=1000 米的高空进行空投，物资恰好准确落在 P处，飞机距 P 处的水47 / 63 平距离 OP为多少米？ 如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开A 处的垂直距离为 160米时，它到 A 处的水平距离为 400 米，要使飞机仍在 中 O 点的正上方空投，且使空投物资准确地落在 P处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？ 分析： 中由题意可知抛物线的顶点坐标为，点 C 的坐标为，因此可设抛物线关系式为 y=ax+1000，再把点 C 的坐标代入即可； 由 题意知 C，再由 P 点坐标即可求出关系式 . 解： 由题意知， A， C. 设抛物线的关系式为 y=ax2+1000，把 x=200， y=840 代入上式，得 840=a40000+1000. 解得 a= . y= x2+1000. 当 y=0 48 / 63 ( 转 载于 : 海达 范文 网 : 二 次 函 数 总 结 ) 时， x2+1000=0. 解得 x1=500， x2= 500. 飞机应在距 P处的水平距离 OP=500米的上空空投物资 . 设飞机空投时离地面的高度应调整为 h 米，则设抛物线的关系式为 y=ax2+h. 把点 C代入上式，得 h 160=a4002+h. 解得 a= . y= x2+h. 把 x=500， y=0代入上式，得 0= 5002+h. h 250. 飞机空投时 离地面的高度应调整为 250 米 . 点拨：已知抛物线的顶点时，可先列出二次函数的顶点式，然后根据条件用待定系数法求函数关系式 . 例 8. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特 点： 甲：对称轴是直线 x=4； 49 / 63 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 5 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果 y?ax2?bx?c(a,b,c 是常数， a?0)，那么 y叫做 x的二次函数 . 2.二次函数 y?ax2的性质 抛物线 y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴 . 函数 y?ax2的图像与 a的符号关系 . 当 a?0 时 ?抛物线开口向上 ?顶点为其最低点； 当 a?0 时 ?抛物线开口向下 ?顶点为其最高点 . 顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为y?ax2. 3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于 y轴的抛物线 . 50 / 63 b2a 4ac?b4a 2 2 4.二次函数 y?ax?bx?c用配方法可化成： y?a?x?h?k的形式，其中 h? 2 2 ， k?. 2 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y?ax2 ；y?ax2?k ； y?a?x?h? ； y?a?x?h?k ； y?ax2?bx?c. 51 / 63 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a?0 时，开口向 上；当 a?0时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 . 平行于 y轴的直线记作 x?h.特别地， y轴记作直线 x?0. 7.顶点决定抛物线的位置 .几个不同的二次函数 ，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 . 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法： y?ax 2 b?4ac?b? ?bx?c?a?x? 52 / 63 2a?4a? 2 2 b4ac?b ，对称轴是直线 x?， 顶点是 . 2a2a4a 2 b 2 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h?k的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是直线 x?h. 53 / 63 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴，对称轴 与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 . 9.抛物线 y?ax2?bx?c 中， a,b,c的作用 a 决定开口方向及开口大小，这与 y?ax2 中的 a完全一样 . b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线 x? b2a ，故： b?0 时，对称轴为 y 轴； ba 54 / 63 ?0时，对称轴在 y轴左侧； ba ?0时，对称轴在 y轴 右侧 . c 的大小决定抛物线 y?ax2?bx?c 与 y 轴交点的位置 . 当 x?0时， y?c， 抛物线 y?ax2?bx?c 与 y轴有且只有一个交点： c?0 ，抛物线经过原点 ; c?0, 与 y 轴交于正半轴； c?0, 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： ba ?0. 11.用待定系数法求二次函数的解析式 一般式： y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对 x、 y 的值，通常选择一般式 . 顶点式： y?a?x?h?k.已知图像的顶点或对55 / 63 称轴，通常选择顶点式 . 2 2 交点式：已知图像与 x轴的交点坐标 x1、 x2，通常选用交点式： y?a?x?x1?x?x2?. 12.直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线 y?ax?bx?c 得交点为 (0, c). 2 与 y 轴平行的直线 x?h 与抛物线 y?ax2?bx?c 有且只有一个交点 (h,ah 抛物线与 x轴的交点 2 ?bh?c). 二次函数 y?ax2?bx?c的图像与 x轴的两个交点的横坐标 x1、x2，是对应一元二次方程 ax2?bx?c?0 的两 56 / 63 个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点 ?0?抛物线与 x轴相交； 有一个交点 ?0?抛物线与 x 轴相切； 没有交点 ?