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文档简介

,第四节,一、函数单调性的判定法,机动目录上页下页返回结束,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、函数单调性的判定法,若,定理1.设函数,则在I内单调递增,(递减).,证:不妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明在I内单调递增.,在开区间I内可导,机动目录上页下页返回结束,证毕,例1.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动目录上页下页返回结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,机动目录上页下页返回结束,例2.证明,时,成立不等式,证:令,从而,因此,且,证,证明目录上页下页返回结束,*证明,令,则,从而,即,定义.设函数,在区间I上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,连续曲线凹凸性的分界点称为拐点.,图形是凸的.,二、曲线的凹凸与拐点,机动目录上页下页返回结束,定理2.(凹凸判定法),(1)在I内,则在I内图形是凹的;,(2)在I内,则在I内图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),机动目录上页下页返回结束,设函数,在区间I上有二阶导数,证毕,例3.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束,例4.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,机动目录上页下页返回结束,例5.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.可导函数单调性判别,在I上单调递增,在I上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线凹凸性的分界点,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,机动目录上页下页返回结束,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,作业P1505(3)（5）;10(3);11（2）,;,;,第五节目录上页下页返回结束,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,机动目录上页下页返回结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线
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