【电大毕业论文】线性空间的张量积

-本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载-【电大毕业论文】线性空间的张量积本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！【摘要】在本文引入线性空间、张量积的定义和性质，并全面地讨论了线性空间张量积的定义和性质，及其在线性空间中的应用。【关键词】线性空间，张量积，双线性映射引言张量积，记为，可以应用于不同的领域中如模、拓扑向量、向量空间、向量、矩阵、张量。在各种情况下这个符号的意义是相同的: 一般的双线性运算。我们经常会遇到 “双线性映射” 这种定义，比如内积就是一个双线性映射 . 我们想把 “双线性映射” 这种性质归属于向量空间范畴。于是，构造一个跟 W,V 有关的向量空间 Z，使得所有定义在 WV 上的 “双线性映射” 都可以由 “唯一” 一个定义在 Z 上的 “线性映射” 来替代。因此，Z 就叫 V 和 W 的张量积。后来，“张量积”扩展到一般范畴。凡是在范畴中多个对象得到一个对象，并满足一定交换规则和结合规则的都可以看作 “张量积”，比如无交并，拓扑空间的乘积，集合的笛卡儿积，等等，都可以称为张量积。因此，本文在线性空间范畴中研究张量积的定义和性质及其应用。第1章 线性空间线性空间的定义定义 设 V是一个非空集合，在集合V的元素之间定义了两种代数运算，分别为加法运算和数乘运算，并对此运算封闭.加法满足下面四条规则：；0+=（0称为V的零元素）；=0（称为的负元素）；数乘满足下面两条规则：1=；数乘与加法满足下面两条规则：；.线性空间的简单性质 零元素是唯一的；负元素是唯一的；0=0；（-1）=-；0=0如果=0 ，则 =0 或 =0 . 维数基与坐标定义 在n维线性空间V中，n个线性无关的向量称为V的一组基，设 是V中任一向量，他们是线性相关的，因此 可以被基线性表出：其中系数 是被向量 和基 唯一确定的，则有 在基 下的坐标为（）.第2章 线性空间张量积线性空间张量积的定义定义 在域 K 上的两个线性空间 V 和 W 的张量积 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。要构造 ，通过在域 K 上带有基 的线性空间，并应用(因子化生成的子空间)有下列线性关系:其中， 是线性空间的向量，而 C 属于域 K。我们可以推出恒等式，零在 中。结果的张量积 自身是线性空间，它可以直接通过线性空间公理来验证。分别令 V 和 W 的基为 和 ，则有 的张量形成 的基。张量积的维数就等于最初空间维数的积.例 有维数 .证明 设V的一组基为W的一组基为则有是的一组基,因而的维数为. 线性空间张量积的构造定义 设F , E为两个线性空间，按加法和数乘规则，EF也构成一个线性空间。记则定义为在EF上，且只在有限多个点（x,y）上取值不为零的复值函数全体。按函数的通常加法及数乘，构成一个线性空间。为简单起见，如果函数只在有限个点处不等于零，而在其它点处都为零，则记（）其中按这种约定，对于任意的表示只在三个点处取值不为零的函数，分别在处取值为1，在处取值为-1，在处取值为-1；表示只在三个点处取值不为零的函数，分别在处取值为1，在处取值为-1，在处取值为-1；表示只在两个点处取值不为零的函数，分别在处取值为，在处取值为-1；表示只在两个点处取值不为零的函数，分别在处取值为，在处取值为-1.令类元素的所有有限组合全体，N为的一个线性子空间.定义 记商空间为，称之为E和F的张量积，从到的自然映射为，即，其中为所在的等价类.对于任意的由上述可知：对于于是对于形如（）的，有这说明中的所有元素均可以表示成的形式，但表示形式一般不唯一。由下述定义知，为一个双线性映射。定义（双线性映射） 设M为一个线性空间，为一个映射，称为一个双线性映射，如果对于任意的有定理 （张量积的万有性质）设M为任意一个线性空间，如果存在为一个双线性映射，则必存在唯一的为线性映射，使得. 用交换图表示如下： EF M证明 首先将按自然方式延拓成为从到M的线性映射：则 同理可证N的其它生成元在的作用下也为零，于是存在线性映射,使得再证唯一性 设 是E、F的张量积，则由张量积的定义知由上图不难得出，（表示线性空间M的恒等变换）同理 所以，.线性空间张量积的基定理 设 分别为E，F的基，则为EF的一组基，因此有dim(EF)=dim Edim F .证明 (1) 对于任意的可设于是 即EF中的所有元素都可以用中的元素线性表出.(2) 设为一列复数，使得于是，其中 （）对于任意的线性泛函定义，则易证：为一个双线性映射，于是存在EFE为线性映射，使得（）现取为线性泛函，使得则由（）和（）知（注意线性无关）同理可证其它的也都等于零。证明 (1) （张量积交换律）(2) （张量积结合律）证明 设是域F 上有限维线性空间，其中分别取基我们有同构映射设分别是的基. 定义为显然，即为所要的同构映射.故 .（2）设,分别是的基. 定义为.即为所要的同构映射.故 .由此可以得出一般形式：在考虑多个线性空间的张量积时，可以不用括弧，设 是 m 个线性空间，则有张