2012年全国数学建模论文-葡萄酒的评价

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 大连民族学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：葡萄酒的评价摘要：本文主要解决的是如何判定葡萄酒质量与葡萄之间的联系以及各理化指标之间的影响程度问题。对于问题一：判断差异性，主要采用F检验，所得到的F值大于F检验表中的值，由此证明了两组评论员的确有着显著性的差异，第一组的总方差8.028远远大于第二组的总方差2.760，所以第二组更为可信，并且第二组中红葡萄酒的可信度更高。对于问题二：先用主成分分析法对葡萄的理化指标进行筛选计算，对所得到的主成分进行提取。利用层次分析法对葡萄的理化指标进行量化处理。再利用层次分析法将量化的理化指标、酒的质量与葡萄的芳香物质量化。并将所得结果分为了五个等级。对于问题三：本题采用多元拟合的算法，算出系数，再用显著性检验找出最优解，建立函数关系式，找出其联系。用以上三问的算法为基础，算出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标和芳香物质的量。对葡萄酒的等级和影响因素有了大致了解。对于问题四：仍然运用以上的算法，用多元线性拟合算出函数，分析其系数可知其正影响与负影响，从而知道用来在哪一阶段评价葡萄酒的质量最合适。关键字：主成分分析 层次分析法 F检验 多元拟合 显著性检验一问题重述随着时代的进步，社会与经济的发展，我们的生活质量也随之提高。现今最时尚的享受就是品尝葡萄酒了。在品尝葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄的理化指标会在一定程序上反应葡萄酒和葡萄的质量。其中，通过附件1中给出的葡萄酒的评价结果以及附件2和附件3中给出的葡萄酒和酿酒葡萄的成分数据建立数学模型。通过建立数学模型解决以下问题：（1） 分析附件1中两组评酒员的评价结果与无显著性差异，确定哪一组结果更可信？（2） 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。（3） 分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系。（4） 分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。二模型假设（1） 假设评酒员自身在品酒时没有感冒等身体上的不适影响品酒结果。（2） 假设评酒员在品酒的过程中没有不正常的视觉味觉上的阻碍。（3） 假设评酒员所品尝的酒在保存和运输途中无质量上的破坏。三问题分析问题一：本问题主要解决的是对两组评酒员的评价结果进行评价，看是否有显著性差异。我们注意到本题中的关键字是：差异二字。所以我们知道要判断一组数的波动大小就会用到方差，所以我们从方差入手，结合题中出现的判断两组数据的的差异性我们采取的做法为F检验法。因为红葡萄酒与白葡萄酒的部分成分不同，所以分别算出两组数据的F值分别与表中值进行比较即可判断是否有差异。 因为是两组数据进行比较分析的，所以无法确立一个参照组，评酒员最重要的就是不能带有强烈的主观因素，而是要从客观角度出发，所以我们认为两组评论员中评论分数波动不大的一组可信度较高。问题二：本题要从酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量两个方面对葡萄酒进行分级。首先理化指标是指产品的物理性质、物理性能、化学成分、化学性质、化学性能等技术指标，也是产品的质量指标。介于附件中所给成分种类过于繁杂，一些成分在酿酒葡萄中所占份额较小并且对于酿造葡萄酒及酒的质量并无很大影响，所以我们只需计算出与葡萄酒酿造和和葡萄酒质量关系较大的成分即可，到这里我们不难想出用主成分分析法将酿酒葡萄中主要的理化指标计算出来，先由样本的原始数据得出矩阵X，再由指标数据进行标准化，得到标准化矩阵，再根据标准化矩阵建立协方差矩阵R，根据协方差矩阵R求出特征值、主成分贡献率和累计方差贡献率，确定主成分个数。建立初始因子载荷矩阵，解释主成分。即可得到酿酒葡萄的理化指标。葡萄酒的质量可以从评酒员所打分数上对酒的质量进行计算。 因为是不同因素对同一物质的作用，所以我们需要计算出这些因素分别对这一物质影响的比例。我们通过层次分析法算出这些因素的权重后进行运算，即可对葡萄酒进行分级。问题三：要分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。我们想到了两组数据的联系，通过拟合的算法，建立线性回归方程得到线性关系，再用最小二乘法找到最能反映其关系规律的直线，算出残差即可得到系数。我们就是通过求得的系数来分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。问题四：分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。我们首先对酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标进行量化处理，方法如问题二，得出的数据与葡萄酒质量进行拟合即可得到系数。葡萄酒质量我们打算做两组对照。一组是没有芳香物质，一组是有芳香物质，看其影响是否明显，再进行论证。 四、符号说明(1) 葡萄样品(2) 样品个数(3) 变量(4) 矩阵特征根(5) 影响葡萄酿酒的因素(6)样品等级(7)矩阵权值(8)从景点到景点所用总时间(9) 矩阵的一致性检验(10)从景点到景点所用时间(11)判断矩阵是否一致(12)样本方差的平方(13)样本值(14) 样本的平均 五 模型的建立与求解5.1模型一5.11模型的建立根据附件1中评酒员对酒的打分我们对这些数据进行处理，分别对这27款红葡萄酒和28款白葡萄酒进行方差运算得到27款红葡萄酒和28款白葡萄酒的方差，以得到的方差视为新的27个样本和28个样本，再次进行方差的运算。即： （1） （2）分别求出两组方差的平方，再由公式： （3）计算出值，并与检验表中的数值进行比较。5.12模型的求解5.12.1我么所求得的两组27款红葡萄的方差如表一所示，28款白葡萄的方差如表二所示。表一：两组红葡萄酒的方差分布图表二：两组白葡萄酒的方差分布5.122我们将这些样本带入到公式（1）和（2）得到的方差如表三所示：表三：两组红白葡萄酒的方差值红葡萄酒白葡萄酒第一组3.00713.049第二组0.7834.747所得，根据查检验表可得，。表明第一组与第二组的红葡萄酒评定有显著性差异，第一组与第二组的白葡萄酒评定有显著性差异。通过方差值，我们就清晰明了的看出第二组的方差相对较小，所以第二组的可信度较高。并且第二组中红葡萄酒的可信度更高。5.2模型二：葡糖酿酒理化指标的主成分分析模型 模型的建立：主成分分析法是将研究对象的多个变量化为少数几个不相关的指标的一种多元统计方法。葡糖酿酒理化指标分为两大类指标，分别为一级指标和二级指标，在这里我们只考虑一级指标对葡萄酿酒的影响。本文涉及到的指标众多，并且指标彼此之间有一定的相关性，因此，所得到的统计数据反映的信息有一定程度的重叠。这里我们运用了主成分分析法，选择了20个葡萄酿酒的一级指标进行处理。5.2.1构造样本矩阵 设葡萄样品为n,指标个数为p,n个样品的指标值构成了样本矩阵X。 (1)（i=1,2，,n;j=1,2.,p）5.2.2将矩阵标准化 并且对样本矩阵进行如下标准化变换： 其中 ，得标准化矩阵Z。5.2.3对标准化阵Z求相关系数矩阵 ，其中 ，由此得出相关系数矩阵如下：相关系数X1X2X3X4X20N11.0.8670.7650.6680.644N21.0000.7620.3920.675N31.0000.9620.432N41.0000.5280.823N271.0005.3.1求特征值 解样本相关矩阵X的特征方程：得P个特征根，确定主成分按确定m值，使信息的利用率达85%以上，对每个解方程组Rb=,得单位特征向量。下表是求得的R的特征根及贡献率、累积贡献率部分图。主成分特征值贡献率（100%）累计贡献率（100%）氨基酸3.58941.0141.01果穗0.92015.3856.39白粒0.78313.0269.41还原糖05047.0376.44总糖0.4015.0281.46可溶性固体物0.2064.9186.37蛋白质0.114.3090.67花色苷0.053.1993.86 前六项特征值的累计贡献率为86.37%85%,说明前六个主成分基本包含了全部指标具有的信息，所以选取这六个主成分作为评价的综合指标。 根据附件一 中所给的数据，我们大致给出六项指标所占整体的比例，如下表各个主成分所占比例：成分氨基酸果穗白粒还原糖总糖可溶性固体物比例50%11%11%10%9%9%由上我们知道了各个主成分所占的比例，然后结合附件二中红、白葡萄酿酒的数据，我们得到了红酿酒葡萄的数据和白酿酒葡萄的数据，数据如下表所示： 红酿酒葡萄数据表葡萄样品1234567成分数量1120.5861146.1574292.9951165.8821064.2391824.771289.454葡萄样品891011121314成分数量1067.7211222.30977912721392799717葡萄样品15161718192021成分数量118285710021310132912663265葡萄样品222324252627成分数量13711303963810522663白酿酒葡萄数据表葡萄样品1234567成分数量74710242611112614241031960葡萄样品891011121314成分数量74310541156888978442861葡萄样品15161718192021成分数量14796006617464991124863葡萄样品22232425262728成分数量803860164512731128133419815.3.2.芳香化合物求解由于第二问要求的是根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级，我们还应该将芳香物质因素考虑进去，即根据附件三所提供的数据，我们再由主成份分析法得到主要指标。以下两个表格是红葡萄芳香物质主成分所得数据和白葡萄芳香物质主成分所得数据：红葡萄样品质量葡萄样品1葡萄样品2葡萄样品3葡萄样品4葡萄样品5葡萄样品6葡萄样品739.382 63.032 108.920 95.420 135.521 147.717 56.419 葡萄样品8葡萄样品9葡萄样品10葡萄样品11葡萄样品12葡萄样品13葡萄样品14153.388 297.261 173.941 99.5784732.911 1783.632 74.491葡萄样品15葡萄样品16葡萄样品17葡萄样品18葡萄样品19葡萄样品20葡萄样品21271.484 80.119 106.284 206.793 131.993 46.547 2384.247 葡萄样品22葡萄样品23葡萄样品24葡萄样品25葡萄样品26葡萄样品27188.067 56.863 76.390 120.282 697.534 383.414 白葡萄芳香物质主成分数据葡萄样品1葡萄样品2葡萄样品3葡萄样品4葡萄样品5葡萄样品6葡萄样品7248.882 88.416 113.103 160.911 145.325 650.689 315.338 葡萄样品8葡萄样品9葡萄样品10葡萄样品11葡萄样品12葡萄样品13葡萄样品14178.958 139.044 447.068 128.903 1254.016 105.396 1304.936 葡萄样品15葡萄样品16葡萄样品17葡萄样品18葡萄样品19葡萄样品20葡萄样品2192.393 222.767 80.334 38.811 702.439 122.575 137.701 葡萄样品22葡萄样品23葡萄样品24葡萄样品25葡萄样品26葡萄样品27葡萄样品28169.269 370.958 50.027 140.744 213.675 50.071 239.440 5.3.3葡萄酒的质量模型由题意可知评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分即为葡萄酒的质量。由第一问可以知道第二组评酒员的评价结果更具可靠性，所以根据附件一中第二组评酒员评价的数据就能得到每组葡萄样品的进最后得分，即为葡萄酒的质量，如下表所示：第二组人员给出红葡萄酒质量葡萄样品1葡萄样品2葡萄样品3葡萄样品4葡萄样品5葡萄样品6葡萄样品768.17474.671.272.166.365.3葡萄样品8葡萄样品9葡萄样品10葡萄样品11葡萄样品12葡萄样品13葡萄样品146678.268.861.668.368.872.6葡萄样品15葡萄样品16葡萄样品17葡萄样品18葡萄样品19葡萄样品20葡萄样品2165.769.974.565.472.675.872.2葡萄样品22葡萄样品23葡萄样品24葡萄样品25葡萄样品26葡萄样品2771.677.171.568.27271.5第二组人员给出白葡萄酒质量葡萄样品1葡萄样品2葡萄样品3葡萄样品4葡萄样品5葡萄样品6葡萄样品777.975.875.676.981.575.574.2葡萄样品8葡萄样品9葡萄样品10葡萄样品11葡萄样品12葡萄样品13葡萄样品1472.380.479.871.472.473977.1葡萄样品15葡萄样品16葡萄样品17葡萄样品18葡萄样品19葡萄样品20葡萄样品2178.467.380.376.776.476.6 79.2葡萄样品22葡萄样品23葡萄样品24葡萄样品25葡萄样品26葡萄样品2779.477.476.179.574.37779.65.3.4层次分析法确定权重的模型酿酒葡萄等级划分受到很多方面因素的影响，必须进行综合的考虑，才能对酿酒葡萄进行合理的划分，得到正确的酿酒葡萄等级。为了给这些酿酒葡萄划分等级，首先要确定每个影响因素的相对重要性，也就是影响因素的权重。为此设分别为酿酒葡萄的理化指标、葡萄酒的质量、芳香物质的权重，并且，然后对三个主要因素进行评估，最后用三个因素的数据乘以每个因素的权重得到酿酒葡萄的总分，最后对酿酒葡萄进行等级划分。5.4.1建立层次结构模型根据我们求得的结果，构造出层次结构模型如下所示：O（划分等级）W1酿酒葡萄理化指标W2葡萄酒质量W3芳香物质P1一等酿酒P2二等酿酒P3三等酿酒目标层准则层方案层注：图中的连线反映了因素间存在的关联关系5.4.2（1）构造判断矩阵A使用Delphi法确定在t种不同情况下的判断矩阵为：RC1C2C3WC115/37/32.6207C23/517/51.5183C33/75/710.2614（2）用方根法计算权重矢量首先，计算判断矩阵中每行元素的几何平均值 得，然后将归一化 得根据上述矩阵得出W1，W2,W3如下由此便可得到该判断矩阵各个目标的相应权重系数分别为：5.4.3矩阵的相容性检验由上述我们得出了判断矩阵，由判断矩阵得到了权重，接着根据公式：设矩阵相容性指标为C,I，如果C.I，=0.1就可以认为判断矩阵A有相容性。根据上述公式，求得判断矩阵的最大特征根为，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033，因为CR0.88 随其增大减少 总糖：|t|0.8随其增大而减小 果惠质量：近似等于0.88影响不大 百粒质量：|t|1.161 随其增大而减小还原糖，果惠质量， 百粒质量：|t|1.06随其增大而减小 果惠质量：|t|0.722 随其增大而减小氨基酸，果惠质量;，总糖|t| n,k=size(x);X=ones(n,1),x;%构建结构阵X，A=X*X; %求算信息阵A，C=inv(A); %求算信息阵的逆阵，b=Xy, % 求算回归统计数向量，其中第一行为回归截距a,RSS=y*y-b*X*y, %求算离回归平方和，MSe=RSS/(n-k-1),%求算离回归方差，Up=b.*b./diag(C);%求算偏回归平方和，其中第一行是a与0差异的偏平方和，F=Up/MSe,%F测验，其中第一行为a与0差异的F值，sb=sqrt(MSe*diag(C); %求算回归统计数标准误，t=b./sb, % 回归统计数的 t 测验，其中第一行为a与0差异的t测验值。t, t.2, F,%验证t2=FSSy=var(y