逻辑代数和函数化简.ppt

2010年4月6日星期二,1,第六章逻辑代数和函数化简,6.1基本逻辑运算和复合逻辑运算6.2逻辑函数及其描述6.3逻辑代数的运算法则6.4逻辑函数表达式的形式及其变换6.5逻辑函数的标准形式6.6逻辑函数的公式化简法6.7逻辑函数的卡诺图化简法,2010年4月6日星期二,2,6.1.1基本逻辑运算,1.与逻辑：,当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。,功能表,6.1基本逻辑运算和复合逻辑运算,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,第六章逻辑代数和函数化简,2010年4月6日星期二,3,真值表,逻辑函数式,与门（ANDgate),逻辑符号,与逻辑的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,2010年4月6日星期二,4,2.或逻辑：,决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。,或门（ORgate),或逻辑关系,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,0,1,1,1,2010年4月6日星期二,5,3.非逻辑：,只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,非门（NOTgate),非逻辑关系,1,0,0,1,2010年4月6日星期二,6,4、逻辑变量与逻辑函数,1.逻辑变量与逻辑函数,在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是1就是0。,逻辑函数：,如果输入逻辑变量A、B、C的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被唯一确定，则称Y是A、B、C的逻辑函数。并记作,原变量和反变量：,字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。,逻辑变量：,2010年4月6日星期二,7,(1)与非逻辑(NAND),(2)或非逻辑(NOR),(3)与或非逻辑(ANDORINVERT),(真值表略),1,1,1,0,00,01,10,11,1,0,0,0,6.1.2复合逻辑运算,Y1、Y2的真值表,2010年4月6日星期二,8,(4)异或逻辑(ExclusiveOR),(5)同或逻辑(ExclusiveNOR),(异或非),0,1,1,0,00,01,10,11,=AB,1,0,0,1,00,01,10,11,2010年4月6日星期二,9,3.逻辑符号对照,曾用符号,美国符号,国标符号,2010年4月6日星期二,10,国标符号,曾用符号,美国符号,2010年4月6日星期二,11,6.2逻辑函数及其描述,6.2.1逻辑函数的基本概念,在现实生活中，为了解决实际逻辑问题，应根据提出的问题，确定哪些是逻辑自变量，哪些是逻辑因变量，然后研究他们之间的因果关系，列出真值表，再根据真值表写出逻辑表达式。,2010年4月6日星期二,12,逻辑函数具有以下特点：,1.输入变量与输出变量之间的逻辑关系,2.函数由三种基本逻辑运算组成,3.输入和输出逻辑变量的取值只能是0或1,2010年4月6日星期二,13,6.2.2逻辑函数的描述方法,一、逻辑表达式,优点：,书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。,缺点：,逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。,2010年4月6日星期二,14,二、真值表,优点：,直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。,三、卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,优点：,便于求出逻辑函数的最简与或表达式。,缺点：,只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。,2010年4月6日星期二,15,四、逻辑图,A,B,Y,C,优点：,最接近实际电路。,缺点：,不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。,2010年4月6日星期二,16,五、波形图,输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形,A,B,Y,优点：,形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。,2010年4月6日星期二,17,6.2.3逻辑函数各种表示方法间的相互转换,一、真值表,函数式,逻辑图,例设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A)和两名副裁判(B、C)中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。,(1)真值表,函数式,将真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得Y的逻辑函数式。,2010年4月6日星期二,18,函数式,卡诺图化简,1,1,0,1,0,0,0,0,(2)函数式,逻辑图,A,B,Y,C,2010年4月6日星期二,19,真值表,函数式,二、逻辑图,2010年4月6日星期二,20,6.3逻辑代数的运算法则,2.3.1逻辑函数的相等,若两逻辑函数具有相同的真值表，则这两个逻辑函数相等,2010年4月6日星期二,21,或：,0+0=0,1+0=1,1+1=1,与：,00=0,01=0,11=1,非：,二、变量和常量的关系(变量：A、B、C),或：,A+0=A,A+1=1,与:,A0=0,A1=A,非：,6.3.2逻辑代数的基本定律,一、常量之间的关系(常量：0和1),2010年4月6日星期二,22,三、与普通代数相似的定理,交换律,结合律,分配律,例1.1.1证明公式,解,方法一：公式法,2010年4月6日星期二,23,证明公式,方法二：真值表法,(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中),ABC,2010年4月6日星期二,24,四、逻辑代数的一些特殊定理,同一律,A+A=A,AA=A,还原律,例1.1.2证明：,AB,2010年4月6日星期二,25,五、若干常用公式,2010年4月6日星期二,26,公式(4)证明：,公式(5)证明：,即,=AB,同理可证,2010年4月6日星期二,27,六、关于异或运算的一些公式,异或,同或,AB,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(4)常量和变量的异或运算,(5)因果互换律,如果,则有,=AB,2010年4月6日星期二,28,将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量,6.3.3逻辑代数的三个基本规则,1.代入规则：,等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。,例如，已知,(用函数A+C代替A),则,2.反演规则：,不属于单个变量上的反号应保留不变,2010年4月6日星期二,29,例如：已知,反演规则的应用：求逻辑函数的反函数,则,将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量,已知,则,2010年4月6日星期二,30,3.对偶规则：,如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。,将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”,例如,对偶规则的应用：证明等式成立,00=0,1+1=1,2010年4月6日星期二,31,6.4逻辑函数表达式的形式及其变换,2.4.1完备函数的概念,我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。,2010年4月6日星期二,32,或与式,与或非式,6.4.2逻辑函数的形式,与或式,与非-与非式,或与非式,或非-或非式,或非-或式,核心,2010年4月6日星期二,33,标准与或表达式,6.5逻辑函数的标准形式,6.5.1最小项,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,2010年4月6日星期二,34,1.最小项的概念：,包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。,(2变量共有4个最小项),(4变量共有16个最小项),(n变量共有2n个最小项),(3变量共有8个最小项),2010年4月6日星期二,35,对应规律：1原变量0反变量,2.最小项的性质：,(1)任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1；,ABC001,ABC101,(2)任意两个最小项的乘积为0；,(3)全体最小项之和为1。,2010年4月6日星期二,36,3.最小项的编号：,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。,对应规律：原变量1反变量0,000,001,010,011,100,101,110,111,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,2010年4月6日星期二,37,6.5.2最小项标准表达式,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。,例写出下列函数的标准与或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,2010年4月6日星期二,38,例写出下列函数的标准与或式：,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,与前面m0相重,2010年4月6日星期二,39,6.6逻辑函数的公式化简法,6.6.1关于逻辑函数化简的几个问题,1.化简的标准（1）与项个数最少（2）每个与项中变量个数最少,卡诺图法,代数法,2.化简的方法,2010年4月6日星期二,40,6.6.2逻辑函数的代数化简法,一、并项法:,例,例,2010年4月6日星期二,41,二、吸收法：,例,例,例,2010年4月6日星期二,42,三、消去法：,例,例,2010年4月6日星期二,43,四、配项消项法：,或,或,例,例,冗余项,2010年4月6日星期二,44,综合练习：,2010年4月6日星期二,45,作业：,2010年4月6日星期二,46,6.7逻辑函数的卡诺图化简法,6.7.1逻辑函数的卡诺图表示法,卡诺图：,1.二变量的卡诺图,最小项方格图(按循环码排列),(四个最小项),A,B,2010年4月6日星期二,47,2.变量卡诺图的画法,三变量的卡诺图：,八个最小项,A,BC,0,1,00,01,卡诺图的实质：,紧挨着,行或列的两头,对折起来位置重合,逻辑相邻：,两个最小项只有一个变量不同,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,2010年4月6日星期二,48,五变量的卡诺图：,四变量的卡诺图：,十六个最小项,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。,AB,CDE,以此轴为对称轴（对折后位置重合）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,三十二个最小项,2010年4月6日星期二,49,3、逻辑函数的卡诺图表示法,1）.根据变量个数画出相应的卡诺图；,2）.将函数化为最小项之和的形式；,3）.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余位置填0或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,2010年4月6日星期二,50,6.7.2利用卡诺图化简逻辑函数,几何相邻：,相接紧挨着,相对行或列的两头,相重对折起来位置重合,逻辑相邻：,例如,两个最小项只有一个变量不同,化简方法：,卡诺图的缺点：,函数的变量个数不宜超过6个。,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。,2010年4月6日星期二,51,1.卡诺图中最小项合并规律：,(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子,0,4,3,2,1,9,4,6,2010年4月6日星期二,52,(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,2010年4月6日星期二,53,(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n个相邻最小项合并可以消去n个因子,总结：,2010年4月6日星期二,54,3、用卡诺图化简逻辑函数,化简步骤:,(1)画函数的卡诺图,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,例,1,1,1,1,1,1,1,1,解,2010年4月6日星期二,55,画包围圈的原则：,(1)先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。,(2)圈越大越好，但圈的个数越少越好。,(3)最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。,(4)必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。,不正确的画圈,2010年4月6日星期二,56,例,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,多余的圈,注意：先圈孤立项,利用图形法化简函数,2010年4月6日星期二,57,利用图形法化简函数,例,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,2010年4月6日星期二,58,例,用图形法求反函数的最简与或表达式,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,(2)合并函数值为0的最小项,(3)写出Y的反函数的最简与或表达式,2010年4月6日星期二,59,6.7.3具有无关项的逻辑函数的化简,一、无关项（约束）的概念和约束条件,(1)约束：,输入变量取值所受的限制,例如，逻辑变量A、B、C，分别表示电梯的升、降、停命令。,A=1表示升，B=1表示降，C=1表示停。,ABC的可能取值,(2)约束项：,不会出现的变量取值所对应的最小项。,不可能取值,001,010,100,000,011,101,110,111,1.约束、约束项、约束条件,2010年4月6日星期二,60,(3)约束条件：,(2)在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示。,000,011,101,110,111,由约束项相加所构成的值为0的逻辑表达式。,约束项：,约束条件：,或,2.约束条件的表示方法,(1)在真值表和卡诺图上用叉号()表示。,例如，上例中ABC的不可能取值为,2010年4月6日星期二,61,二、具有约束的逻辑函数的化简,例化简逻辑函数,化简步骤:,(1)画函数的卡诺图，顺序为：,先填1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,(2)合并最小项，画圈时既可以当1，又可以当0,(3)写出最简与或表达式,解,2010年4月6日星期二,62,例化简逻辑函数,约束条件,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,(2)合并最小项,(3)写出最简与或表达式,合并时，究竟把作为1还是作为0应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。,注意：,2010年4月6日星期二,63,第二章小结一、常用逻辑关系及运算,1.三种基本逻辑运算：,与、或、非,2.四种复合逻辑运算：,与非、或非、与或非、异或,二、逻辑代数的公式和