§4.2 连续函数的性质.doc

第四章 函数的连续性 2 连续函数的性质 数学分析电子教案2连续函数的性质【教学目的】掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；【教学重点】连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质。【教学难点】连续函数性质的应用。一 连续函数的局部性质若函数f在点 连续，则f在点有极限，且极限值等于函数值。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f在U()的性态。定理4.2（局部有界性） 若函数f在点连续，则f在某U()内有界。定理4.3（局部保号性） 若函数f在点连续，且，则任何正数，存在某U()，使得对一切U()有注 在具体应用局部保号性时，常取，则（）存在某U()，使在其内有。定理4.4（四则运算）若函数和g在点连续，则有 （这里）也都在点连续。以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得。对常量函数y=c 和函数y=x反复应用定理4.4，能推出多项式函数和有理函数 (P,Q为多项式)在其定义域的每一点都是连续的。同样，由sin x和cos x在R上连续性，可推出tan x与cot x在其定义域的每一点都连续。 关于复合函数的连续性，有如下定理： 定理4.5 若函数f在点 连续，g在点 点连续，则复合函数在点连续。 证 由于g在连续，对任给的0，存在 ，使得当时有 （1）又由 及在点连续，故对上述，存在O，使得当 时有.联系（1）得：对任给的O，存在O，当 时有这就证明了在点连续。注 根据连续性的定义，上述定理的结论可表为例1 求.解 可看作函数的复合。由（2）式得注 若复合函数的内函数f当x时极限为a，而 或 在无定义（即 为f的可去间断点），又外函数g 在u=a连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有 (3)读者还可证明：（3）式不仅对于x 这种类型的极限成立，而且对于x,x-或 等类型的极限也是成立的.例2 求极限： 解;二 闭区间上连续函数的基本性质定义1 设f为定义在数集D上的函数。若存在D ，使得对一切xD 有 则称f在D上有最大（最小）值，并称为在D上的最大（最小）值。例如，sin x在0，上有最大值1，最小值0。但一般而言，函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值（即使在D上有界）。如f (x)=x在（0，1）上既无最大值也无最小值，又如 （4）它在闭区间O，1上也无最大、最小值。下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件。定理4.6（最大、最小值定理） 若函数f 在闭区间，上连续，则f在，上有最大值与最小值。此定理和随后的定理4.7以及本节最后的定理4.9，其证明将在第七章2给出。在这里读者先对这些定理有所了解，并能初步运用它们。推论（有界性定理） 若函数f在闭区间，上连续，则f在，上有界。易见由（4）式给出的函数g在闭区间O，1上无界，请读者考虑为什么对函数g上述推论的结论不成立。定理4.7（介值性定理） 设函数f 在闭区间，上连续，且f(a)f (b).若为介于f (a)与f (b)之间的任何实数（f (a) f (b)）,则至少存在一点(a,b)，使得这个定理表明，若f在，上连续，又不妨设f (a) f (b)，则在，上必能取得区间f (a), f (b)中的一切值，即有其几何意义如图4-2所示。 y Bf(b) f(a) A b x 推论（根的存在定理） 若函数f在闭区间，上连续，且f (a)与f (b)异号（即f (a) f (b)0，n为正整数，则存在唯一正数 ，使得 （称为r的n次正根（即算术根），记）。证 先证存在性.由于x+时有，故必存在正数a，使得 .因 在0，a上连续，并有f (0)rf (a),故由介值性定理，至少存在一点 ，使得 .再证唯一性。设正数使得 ，则有由于第二个括号内的数为正，所以只能=0 ，即 。例4 设f在，上连续，满足 f (，) ， （5）证明：存在，使得 （6）证 条件（5）意味着：对任何x，有af (x)b,特别有 af (a) 以及f (b)b.若a=f (a)或f (b)=b，则取或，从而（6）式成立。现设af (a)与f (b)0,F(b)= f (b)-b0.故由根的存在性定理，存在，使得，即。从本例的证明过程可见，在应用介值性定理或根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数（如在本例中令F(x)= f (x)-x）,可收到事半功倍的效果。三 反函数的连续性定理4.8 若函数f在，上严格单调并连续，则反函数 在其定义域f ()，f ()或上连续。证 不妨设f在，上严格增，此时f的值域即反函数 的定义域为f ()，f ().任取，设，则有 于是对任给的O，可在（a,b）内 的两侧各取异于 的点,（）使得它们与的距离小于。图4-4设与 , 对应的函数值分别为,由的严格增性知。令则当 时，对应的的值都落在与之间，故有图4-4这就证明了在点连续，从而在(f(a),f(b)内连续。类似地可证在其定义区间的端点f (a)与f (b)分别为右连续与左连续。所以在f ()，f ()上连续。例5 由于在区间上严格单调且连续，故其反函数=arcsin x在区间-1，1上连续。 同理可得其反三解函数也在相应的定义区间上连续。如y=arcos x 在-1，1上连续，y=arctan x 在（-，+）上连续等。例6 由于（n为正整数）在0，+）上严格单调且连续，故 在0，+）上连续。又若把 （n为正整数）看作由 与 复合而成的函数，则由复合函数的连续性，在(0, ) 上连续。 综上可知，若q为非零整数，则 是其定义区间上的连续函数。例7 证明：有理幂函数 在其定义区间上连续。证 设有理数，这里p,q（O）为整数。因为 与 均成其定义区间上连续，所以复合函数也是其定义区间上的连续函数四 一致连续性函数f在区间上连续，是指在该区间上每一点都连续。本段中讨论的一致连续性概念反映了函数在区间上更强的连续性。定义2 设 为定义在区间I上的函数。若对任给的O，存在=()0，使得对任何 ，只要，就有则称函数f在区间上一致连续。直观地说f在I上一致连续意味着：不论两点 与 在I中处于什么位置，只要它们的距离小于，就使。例8 证明f (x)=ax+b(a0)在（-，）上一致连续。证 任给出O，由于故可选取，则对任何，只要求，就有这就证得f (x)=ax+b在（-，）上一致例9 证明函数 在（0，1）内不一致连续（尽管它在（0，1）内每一点都连续）。 证 按一致连续性的定义，为证函数f在某区间I上不一致连续，只须证明：存在某，对任何正数（不论多么小），总存在两点，尽管，但有。对于本例中函数，可取 ，对无论多么小的正数，只要取 ，则虽有但所以 在（0，1）内不一致连续。函数在区间上连续与一致连续这两个概念有着重要的差别，f在区间I上连续，是指任给O，对每一点xI,都存在相应的正数=(,x)，只要 且 , 就有一般来说，对于I上不同的点，相应的正数是不同的。换句话说，的取值除依赖于之外，还与点x有关，由此我们写=(,x) 以表示与和x的依赖关系。如果能做到只与有关，而与x无关，或者说存在适合于I上所有点x的公共的，即=()，那么函数就不仅在I上连续，而且是一致连续了。所以，f在区间I上一致连续是f的又一个整体性质，由它可推出f在I上每一点都连续的这一局部性质（只要在定义2中把看作定点，把 看作动点，即f在点 连续）。而从例9可见，由在区间I上每一点都连续，并不能推出f在I上一致连续。然而，对于定义在闭区间上的函数来说，由它在每一点都连续却可推出在区间上一致连续性，即有如下重要定理：定理4.9（一致连续性定理） 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上一致连续。例10 设区间 的右端点为c，区间 的左端点也为c （ 可分别为有限或无限区间）。试按一致连续性的定义证明：若f分别在 上一致连续，则f在 上也一致连续。证 任给O，由在 和 上的一致连续性，分别存在正数 和 ，使得对任何，只要，就有 （7）又对任何