复习：二维随机变量函数的分布.ppt

随机变量函数的分布,复习,例1设(X,Y)的概率密度是,求(1)c的值；（2）两个边缘密度。,=5c/24=1,c=24/5,解：(1),例1设(X,Y)的概率密度是,解:(2),求(1)c的值;(2)两个边缘密度.,注意积分限,注意取值范围,例1设(X,Y)的概率密度是,解:(2),求(1)c的值;(2)两个边缘密度.,注意积分限,注意取值范围,即,解：,0x1,0y0)上的均匀分布。试求它们的和Z=X+Y的概率密度。,解X与Y的概率密度分别为,显然仅当,上述积分不等于零。,因此，当0z2a时，,当-2az0时，,所得到的分布称做辛卜生(Simpson)分布或称做三角分布，其概率密度曲线如图。,则有,2、M=max(X，Y)及N=min(X，Y)的分布,故有,推广,例6,解,例7设X1，X2，Xn相互独立，且都服从(0，1)上的均匀分布，试求U=max(X1，X2，Xn)及V=min(X1，X2，Xn)的密度函数。,解因为相应于（0，1）上均匀分布的分布函数为,因此U的分布函数为,故U的概率密度为,而V的分布函数为,故V的概率密度为,小结,1.离散型随机变量函数的分布律,2.连续型随机变量函数的分布,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第三章多维随机变量及其分布习题课,一、重点与难点,1.重点,二维随机变量的分布,有关概率的计算和随机变量的独立性,2.难点,条件概率分布,随机变量函数的分布,定义,联合分布函数,联合分布律,联合概率密度,边缘分布,条件分布,两个随机变量的函数的分布,随机变量的相互独立性,定义,性质,二维随机变量,推广,二、主要内容,二维随机变量,(1)定义,二维随机变量的分布函数,且有,(2)性质,(3)n维随机变量的概念,二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:,二维离散型随机变量的分布律,离散型随机变量(X,Y)的分布函数为,2019/11/24,51,可编辑,二维连续型随机变量的概率密度,(1)定义,(2)性质,表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.,(3)说明,(4)两个常用的分布,设D是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在D上服从均匀分布.,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,边缘分布函数,为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.,离散型随机变量的边缘分布,随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为,联合分布,边缘分布,连续型随机变量的边缘分布,同理得Y的边缘概率密度,(1)离散型随机变量的条件分布,随机变量的条件分布,同理可定义,(2)连续型随机变量的条件分布,联合分布、边缘分布、条件分布的关系,联合分布,随机变量的相互独立性,说明,(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,二维随机变量的推广,其它依次类推.,(5)随机变量相互独立的定义的推广,随机变量函数的分布,(1)离散型随机变量函数的分布,当X,Y独立时,(2)连续型随机变量函数的分布,则有,推广,三、典型例题,例1,解,例2,解,故得,从而有:,因此,求证:随机变量X没有数学期望.,证由定义,数学期望应为,由微积分学可知,右边的级数发散.因此,随机变量X没有数学期望.,设随机变量X的分布律为,备用题例8-1,解,由于,例8-2(柯西分布)设随机变量X服从柯西分布,求EX.,因X服从柯西分布,则其密度函数为,因而其数学期望E(X)不存在.,游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,例9-1,解,已知X在0,60上服从均匀分布,其密度为,电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处,且X在0,60上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望.（考研试题）,设Y是游客等候电梯的时间(单位:分),则,因此,11.67,解,例9-2,设随机变量X的分布密度函数为,试求.(考研试题),解,例9-3,（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数,若记真正卖报数为Y,则Y与X的关系如下：,X服从参数为的泊松分布.如果每卖出一份报可报酬a,卖不掉而退回则每份赔偿b,若某报童买进n份报,试求其期望所得.进一步,再求最佳的卖报份