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20102011学年度第一学期八年级上数学期末复习讲义第一章 勾股定理复习要求(1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；(2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题；(3)了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，a+b=c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。 格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c的平方=a+b=8+15=64+225=289 C0 C=17勾股定理逆定理：如果三角形三边长为a、b、c，c为最长边，只要符合a+b=c，这个三角形是直角三角形。（直角三角形的判别条件）。第二章 实数复习要求(1)了解无理数的概念和意义；(2)了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根；会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律；(3)能用有理数估计一个无理数的大致范围；(4)了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；(5)能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算；(6)能运用实数的运算解决简单的实际问题概念与规律事实上，有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。无限不循环小数叫无理数。无理数：圆周率=3.14159265；0.585885888588885(相邻两个5之间8的个数逐次加1)；根号a（a为非完全平方数或非立方数）。一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”。0的算术平方根是0，即=0一个正数有2个平方根，0只有一个平方根，它是0本身，负数没有平方根。格式： 因为1的平方=1，所以1的算术平方根是1，即=1。一般地，如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。格式： 因为（8）=64，所以64的平方根是8，即=8。一般地，如果一个数x的立方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。一个数只有一个立方根，即为，读作3次根号a。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。实数也可分为正实数、0、负实数。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。=（a0，b0）；= (a0，b0)。第三章 图形的平移与旋转复习要求(1)认识具体实例中的图形的平移和旋转，了解平行四边形是中心对称图形；(2)理解平移时对应点连线平行且相等，旋转时对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；(3)能按要求作出简单平面图形平移后的图形，探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)；(4)能利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用概念与规律在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。第四章 四边形性质探索复习要求(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系了解四边形的不稳定性；(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）了解中心对称图形及其基本性质；(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论；(5)知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺平面，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；概念与规律平行四边形定义：两组组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。平行四边形性质：平行四边形对边相等。平行四边形对角相等。平行四边形的对角线互相平分。若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。平行四边形判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。绕中心旋转180度能与原图重合的图形是中心对称图形。菱形定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形性质：矩形对角线相等，四个角都是直角。矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形。三个角都是直角的四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形性质：正方形具有一切平行四边形、菱形、矩形的一切性质。梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。等腰梯形性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。等腰梯形判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。多边形定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首位顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。多边形的边、顶点、内角和的含义与三角形相同。同一个顶点引出对角线（n-3）条同一个顶点引出三角形（n-2）个在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形。n变形的内角和等于（n-2）180正n边形的内角（n-2）180/nn边形有1/2n(n-3)条对角线。多变性内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和。多边形的外角和等于360在平面内，一个图形绕某个顶点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。当n为大于或等于3的偶数时，正n边形为中心对称图形。第五章 位置的确定复习要求(1)能灵活运用不同的方式确定物体的位置；(2)认识并能画出平面直角坐标系在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标；(3)能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；(4)在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形变换的影响；概念与规律（1） 确定位置的几种方法：极坐标思想方法；平面直角坐标系的思想方法；区域定位法；方位定位法。（2） 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，水平的数轴叫称为横轴或X轴，竖直的数轴称为纵轴或Y轴。（3） 平面直角坐标系中的点是用一对有序数对来表示的，所以平面上的点和有序实数对是一一对应的关系。点（）与点（）是不同的两个点。（4） 各象限内点的横、纵坐标的特点：横轴上所有的点的纵坐标均为0，可表示为（），纵轴上所有点的横坐标均为0，可表示为（）。第一象限横、纵坐标均为正；第二象限的横坐标为负，纵坐标为正；第三象限的横、纵坐标均为负；第四象限的横坐标为正，纵坐标为负。（5） 对称点坐标特征：与X轴对称的点的特征为：横纵坐标不变，纵坐标互为相反数。即点P（）关于X轴的对称点是（）；与Y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变。即点P（）关于Y轴的对称点是（）；与原点对称的点的特征：横坐标与纵坐标均互为相反数。即点P（）关于原点的对称点是（）。（6） 图形上点的纵坐标变化与图形变化之间的关系（1） 纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的倍。 当时，原图形被横向拉长为原来的倍。 当时，原图形被横向缩短为原来的K倍。（2） 横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的K倍 当时，原图形被纵向拉长为原来的倍。 当时，原图形被纵向压缩为原来的K倍。（3） 纵坐标保持不变，横坐标分别加K 当K为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移K个单位长度。 当K为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移个单位长度。（4） 横坐标保持不变，横坐标分别加K 当K为正数时，原图形形状、大小不变，向上平移K个单位长度。 当K为负数时，原图形形状、大小不变，向下平移个单位长度。（5） 横坐标保持不变，纵坐标分别乘1，所得图形与原图形关于横轴成轴对称。（6） 纵坐标保持不变，横坐标分别乘1，所得图形与原图形关于纵轴成轴对称。（7） 横、纵坐标分别乘1，所得图形与原图形关于原点成中心对称。（8） 横、纵坐标分别变成原来的K倍 当K1时，所得图形与原图形相比，形状不变，大小扩大了K倍。 当0K1时，所得图形与原图形相比，形状不变，大小缩小了K倍。第六章 一次函数复习要求(1)能在具体情境中体会一次函数的意义；(2)能根据所给信息确定一次函数表达式；(3)会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象和表达式理解其性质；(4)能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题；(5)初步体会方程和函数的关系知识详解1、 函数：（1）一般地，在某个变化过程中，有两个变量X和Y，如果给定一个X值，相应地就确定了一个Y值，那么我们就称Y是X的函数，其中X是自变量，Y是因变量。（2）函数的三种表示方法：列表法图象法解析法用数学式子表示函数的方法叫做解析法。2、 一次函数：若两个变量X、Y间的关系可以表示成（）的形式，则称Y是X的一次函数（X为自变量，Y为因变量）特别地，当时，称Y是X的正比例函数。3、 一次函数的图象（1） 画函数图象的步骤：列表；描点；连线。（2） 由于一次函数的图象是一条直线，所以一次函数的图象也称为直线。由于两点确定一条直线，因此在画一次函数的图象时，只要描出点两点即可，画正比例函数的图象时，只要描出点（0，0），（1，K）即可。（3）的正负决定直线的倾斜方向，的大小决定直线的倾斜程度，即越大，直线与轴相交的锐角度数越大（直线陡），越小，直线与轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。（4）的正负决定直线与轴交点的位置。 当时，直线与Y轴的交于正半轴上。 当时，直线与Y轴交于负半轴上。 当时，直线经过原点，是正比例函数。（3） 一次函数、正比例函数的图象和性质。函数图象性质一次函数（1）当时，随的增大而增大，图象必经过一三象限。时，过一二三象限时，只过一三象限时，过一三四象限时（2）当时，随的增大而减小，图象必过二四象限。时，过一二四象限时，只过二四象限时，过二三四象限正比例函数图象过原点当时，随的增大而增大，图象必过一三象限当时，随的增小而减小，图象必过二四象限。4、 确定一次函数表达式（1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件 由于正比例函数中只有一个待定系数，故只需一个条件（如一对的值或一个点）就可求得的值。 由于一次函数中有两个待定系数，需要两个独立的条件确定两个关于的方程，求得的值，这两个条件通常是两个点或两对的值。（2） 待定系数法先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。（3） 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 设函数表达式为。 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。 求出的值，得函数表达式。第七章 二元一次方程组复习要求(1)了解二元一次方程的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式；(2)了解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；(3)会解二元一次方程组；(4)根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解简单的应用题；(5)了解解二元一次方程组的基本思想是“消元”第八章 数据的代表复习要求(1)掌握平均数、中位数和众数的概念，会求一组数据的平均数、中位数和众数；(2)掌握加权平均数的概念，知道权的差异对加权平均数的影响，并能用加权平均数解释一些现象；(3)了解平均数、中位数和众数的差别，初步体会它们在不同情境中的应用；(4)能从条形统计图、扇形统计图中获取信息，并求出相关数据的平均数、中位数和众数；(5)能利用科学计算器求一组数据的算术平均数；概念1、算术平均数：一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记为。2、加权平均数：如果个数中，出现次，出现次，出现次（），那么这个的平均数可表示为，这样的平均数叫加权平均数，其中叫做权。3、中位数：一般地，个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。4、众数：一组数据中出现次数最多的那个数叫做这组数据的众数。北师大版八年级数学下册复习提纲第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“”（或“”）,“”（或“”）连接的式子叫做不等式。1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集. 3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. （注：移项要变号，但不等号不变。）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质、若ab, 则acbc；、若ab, c0 则acbc，若c0, 则acb,则bb,且bc,则ac三、解不等式的步骤: 1、去分母; 2、去括号; 3、移项、合并同类项; 4、系数化为1。 四、解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集。 2、在同一数轴表示不等式的解集。 3、写出不等式组的解集。 五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：（1） 审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) （4）解不等式组；检验并作答。六、常考题型： 1、求4x-67x-12的非负数解. 2、已知3(x-a)=x-a+1的解适合2(x-5) 8a,求a的范围.3、当m取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间。 第二章 分解因式一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、 3、 二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc=m（a+b+c）4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式. 找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如或的式子称为完全平方式. 六、分解因式的方法：1、提公因式法。 2、运用公式法。第三章 分式注：1对于任意一个分式，分母都不能为零. 2分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母. 3分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。（中B0时，分式有意义；分式中，当B=0分式无意义；当A=0且B0时，分式的值为零。）常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。2、分式的加减乘除运算。3、分式方程的解法及其利用分式方程解应用题。第四章 相似图形一、 比例定义：表示两个比相等的式子叫比例.1、如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么或ab=cd,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项. 2、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）ABCD=mn，或写成，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.3、如果把表示成比值k，则k或AB=kCD. 4、四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段. 5、黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中ACAB0.618. 6、引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.二、比例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 。如果（b,d都不为0），那么ad=bc.2、合比性质：如果,那么 。3、等比性质：如果（b+d+n0），那么。4、更比性质：若，那么。5、反比性质：若，那么。 三、求两条线段的比时要注意的问题：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.四、相似三角形（多边形）的性质：1、相似三角形对应角相等，对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。2、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL六、相似三角形的判定方法：1.三边对应成比例的两个三角形相似；2.两角对应相等的两个三角形相似；3.两边对应成比例且夹角相等；4.定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 七、在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、两个全等三角形一定相似. 2、两个等腰直角三角形一定相似.3、两个等边三角形一定相似. 4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.八、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。九、常考知识点：1、比例的基本性质，黄金分割比，位似图形的性质。2、相似三角形的性质及判定。相似多边形的性质。第五章 数据的收集与处理（1）普查的定义：这种为了一定目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.（2）总体：其中所要考察对象的全体称为总体。（3）个体：组成总体的每个考察对象称为个体（4）抽样调查：（sampling investigation）：从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查.（5）样本（sample）：其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。（6）当总体中的个体数目较多时，为了节省时间、人力、物力，可采用抽样调查.为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性