图形与证明（二）教学案(

1 / 23 图形与证明（二）教学案 ( 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 等腰三角形的性质和判定（ 1） 学习目标 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、能用 “ 基本事实 ” 和 “ 已经证明的定理 ” 为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 重点、难点等腰三角形的性质及其证明。 学习过程 一、知识回顾： 在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。 1、用的过程，叫做证明。经过 称为定理。 2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？ （ 1） ; （ 2） ; （ 3） . 3、推理和证明的依据有哪几类？ 、2 / 23 。 4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实： （ 1）； （ 2） ； （ 3）； （ 4）； （ 5）。 此外，还有和也都看作是基本事实。 5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？ （ 1）； （ 2）； （ 3） ； （ 4）； （ 5）； （ 6）； （ 7）； （ 8）； （ 9）； （ 10）。 二、情景创设： 3 / 23 以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题： 1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） 2、等腰三角形有哪些性质？；。 3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做） 4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？ 。 三、探索活动： 1、合作与讨论证明：等腰三角形的两个底角相等。 2、思考与讨论怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。 4 / 23 定理：，（简称：） 定理：，（简称：） 4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？（请完成下表） 文学语言图形符号语言 等边对等角在 ABc 中 ； 。 三线合一在 ABc 中， AB Ac （ 1） BAD cAD ，。 （ 2） BD cD ，。 （ 3） ADBc ，。 5、思考与探索 如何证明 “ 等腰三角形的两个底角相等 ” 的逆命题是正确的？ 要求：（ 1）写出它的逆命题：。（ 2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。 6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理 ：。 5 / 23 四、体会与交流 1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。 （ 1）； （ 2）； （ 3）。 2、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将 进一步证明它们的正确性。 课题： 等腰三角形的性质和判定（ 2） 学习目标在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 学习过程 一、知识回顾 上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。 等腰三角形性质定理：（ 1）； （ 2）。 6 / 23 等腰三角形判定定理：。 二、典例分析 1、已知：如图 EAc 是 ABc 的外角， AD 平分 EAc ，且ADBc 。求证： AB Ac 2、在上图中，如果 AB Ac， ADBc ，那么 AD平分 EAc吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？ 3、在上图中，你还能得到其他的结论吗？与同学交流。 三、思考与交流 1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为 “AAS” ） 2、证明：（ 1）等边三角形的每个内角都等于 60 。 （ 2） 3 个内角都相等的三角形是等边三角形。 3、证明：（ 1）线段垂直平分 线上的点到线段两端点的距离相等。 （ 2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 四、体会与交流 7 / 23 本节课，我们又证明了哪些定理？（请写出来）你掌握了吗？ 课题： 直角三角形的全等判定（ 1） 学习目标掌握了直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明方法。 重点、难点 1、直角三角形的判定定理。 2、直角三角形和其它相关知识的证明方法。 学习过程 一、知识回顾 我们已经学习过有关直角三角形的相关知识和全等三角形的判定方法，请你写出这些定理 。直角三角形的定义：； 全等三角形判定定理：（ 1）。简写（） （ 2）。简写（） （ 3）。简写（） （ 4）。简写（） 二、情景创设： 1请大家要求作图：（同桌各作一个，别一个同学用表示，8 / 23 以示区另，其它相同） 画 PcQ 在射线 cP 上取线断 cA 4 厘米， 画弧交射 线 cQ 于 B 使 AB 5 厘米。 连接 AB 2请同桌之间所画直角三角形是否全等？ 由此得到什么结论？ 三、典例分析 1、证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为 “HL” ） 已知，在 ABc 和 ABc 中， AcB=AcB=90 ，AB=AB ， Ac= Ac ，求证： ABcABc 2.如图，在 ABc 中， AB=Ac， DE是过点 A 的直线， BDDE于 D， cEDE 于 E （ 1）若 Bc在 DE的同侧（如图 ）且 AD=cE，说明： BAAc （ 2）若 Bc在 DE 的两侧（如图 ）其他条件不变，问 AB与 Ac仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由 三、思考与交流 在上面的图（ 2）中，如果 BAc=30 ，那么 Bc=AB 吗？并9 / 23 用文字语言叙述出来。 四、随堂练习 如图，在 ABc 和 ABD 中， c=D=90 ，若利用 “AAS”证明 ABcABD ，则需要加条件 _或；若利用 “HL”证明 ABcABD ，则需要加条件或 1.如图在 ABc 中， D 是 Bc的中点， DEAB ， DFAc ，垂足分别为 E、 F，且 DE DF，求证 ABc 是等腰三角形。 3如图 ADDB ， BccA ， Ac、 BD相交于点 o，如果 AD Bc，那么图中还有哪些相等的线断，请证明。（ DB Ac 就不要证明了） 五、体会与交流 本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？ 分解 组合 将困难问题转化为可行性问题（转化思想） 课题： 直角三角形的全等判定（ 2） 学习目标运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。 重点、难点 1、角平分线的性质和判定。 2、角平分线的性质和判定的证明和运用。 学习过程 一、知识回顾 10 / 23 我们已经学习过有关直角三角形全等的判定方法，请你写出这些定理。 直角三角形全等的判定定理： 定义：； （ 1）。简写（） （ 2）。简写（） （ 3）。简写（） （ 4）。简写（） （ 5） 。简写（） 二、典例分析 1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 已知， oc是 AoB 的平分线，点 P 在 oc上 PDoA ， PEoB ，垂足分别为 D、 E，求证： PD=PE 2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 11 / 23 已知，如图， PDoA ， PEoB ，垂足分别为 D、 E，且 PD=PE，求证：点 P 在 AoB 的平分线上。 三、思考与交流 1、 “ 如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。 ” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？（反证法） 2、如图， ABc 的角平分线 AD、 BE相交于点 o，点 o 到 ABc各边的距离相等吗？点 o 在 c 的平分线上吗？ 定理：三角形的 3 条角平分线交于一点。 四、随堂练习 1、如图在 ABc 中， c=90 度，点 D 在 Bc 上， DE 垂直平分 AB，且 DE=Dc求 B 的度数。 2、 (XX四川 )如图，已知点 c 是 AoB 平分线上一点，点 P、 P分别在边 oA、 oB 上。如果要得到 Po=oP，需要添加以下条件中的某一个即可， 请你写出所有可能结果的序号。 ocP=ocP ； oPc=oPc ； Pc=Pc ； PPoc 3、如图，已知 ABc 的外角 cBD 和 BcE 的平分线相交于点 F， 求证：点 F 在 DAE 的平分线上 12 / 23 五、体会与交流 本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？ 课题： 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（ 1） 总课时第 5 课时 学习目标 1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论 2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明 3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力 教学重、难点 重点：平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性 难点：分析综合思考的方法 教学过程 一、情境创设 根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表： 平行四边形矩形菱形正方形 对边平行 对边相等 四边相等 对角相等 13 / 23 4 个角是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 两条对角线平分两组对角 从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？ 如 图，图中有 _个平行四边形。 二、合作交流 活动 1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？ 活动 2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么 ? 活动 3、证明定理 “ 平行四边形对角线互相平分 ” 。 已知，如图，在平行四边形 ABcD中，对角线 Ac、 BD相交于点 o， 求证： Ao=co， Bo=Do 由此证明过程，同时也证明了定理 “ 平行四边形对边相等 ” 、 “ 平行四边形对角相等 ” ，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。 三 典型例题： 例 1：已知：如图， ABcD 中， E、 F 分别是 Dc、 AB的中点。14 / 23 求证： AE=cF 若将例 1 中的 “E 、 F 分别是 AD、 Bc的中点 ” 改为 “AE=AD ，cF=Bc” ，是否还能得到同样的结论？ 例 2、证明 “ 夹在两条平行线之间的平行线段相等 ” 分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。 例 3 如图，四边形 ABcD是平行四边形，点 F 在 BA 的延长线上，连结 cF交于 AD点 E 求证： (1)cDEFAE (2)当 E 是 AD的中点，且 Bc=2cD时，求证： F=BcF 点评：平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段、相似三角形创造了条件，也就为利用相似解决问题带来了方便 . 四、小结： 1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。 2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 3、平行线之间的距离处处相等。 课题： 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（ 2） 15 / 23 总课时第 6 课时 教学目标： 1.使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决有关问题 ,进一步培养学生的逻辑推理能力。 2.能将矩 形的判定定理和性质定理综合应用 ,激发学生的探索精神 教学重点：矩形的本质属性 教学难点：矩形性质定理的综合应用 教学过程： 一、知识回顾： 1 、_叫矩形， ( 八上 P117) 由 此 可 见 矩 形 是 特 殊 的_因而它且有上节课我们证明过的平行四边形性质 _¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬_ 这三个性质。 2、证明：矩形的四个角都是直角 如图：已知_ 求证： _ 图形：画在下面方框内 16 / 23 2、证明：矩形对角线相等 如图：已知_ 求证： _ 图形：画在下面方框内 二、探索活动： 如图矩形 ABcD，对角线相交于 E，图中全等三角形有哪些？准备说说看。 将目光锁定在 RtABc 中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗？现在我们借助于矩形来证明 “ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ” （如何证明？） 例 1、已知：如图，矩形 ABcD的两条对角线相交于点 o，且 Ac=2AB.求证： AoB 是等边三角形 本题若将 “Ac=2AB” 改为 “Boc=120” ，你能获得有关这个矩形的哪些结论？ 例 2、如图在矩形 ABcD 中， BE 平分 ABc ，交 cD 于点 E，点 F 在边 Bc上， 如果 FEAE ，求证 FE=AE。 17 / 23 如果 FE=AE 你能证明 FEAE 吗？ 练习： 1、已知：如图，矩形 ABcD 的两条对角线相交于点 o， AoD 120 ， AB 4cm，求矩形对角线的长？ 2、如图 BD， cE 是 ABc 的两条高， m 是 Bc 的中点，求证mE=mD 四、小结 从位 置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明 “ 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 ” 。 课题： 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（ 3） 总课时第 7 课时 教学目标 1、会归纳菱形的特性并进行证明； 2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明 3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性 教学重、难点重点：菱形的性质定理证明 难点：性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化 教学过程： 一、情境创设 18 / 23 1将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形 ? 2探索。 请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。 (从边、对角线入手。 ) (1)边：都相等； (2)对角线：互相垂直。问题：你怎样发现的 ?又是怎样验证的 ? 3概括。 菱形特征 1：菱形的四条边都相等。 菱形特征 2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 矩形与菱形的区别： 矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角。 4请你折 折，观察并填空。 (1)菱形是不是中心对称图形 ?对称中心是 _。 (2)是不是轴对称图形 ?对称轴有几条 ?_。 二、合作交流 问题一观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？ 19 / 23 问题二证明：菱形的 4 条边都相等。 问题三证明：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 练习：已知菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为 5；面积为 24） 你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？ 由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。 三、典例分析 例 1、如图 3 个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点 A、 E、F、 c、 G、 H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离 (比如 Ac 两点可以自由上下活动 )，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为 24 厘米，并在点 B、 m处固定，则 B、 m 之间的距离是多少？ 例 2、已知：如图，四边形 ABcD是菱形， G 是 AB 上任一点，DF交 Ac于点 E。 求证： AGD=cBE 20 / 23 四、体会与交流： 菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。 课题： 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（ 4） 总课时第 8 课时 教学目标 1、会归纳正方形的特性并进行证明； 2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明； 3、在进行探索、猜想、证明 的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用； 4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系 教学重、难点 重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力 难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点 教学过程： 一、情境创设 这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝 一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想 出了一21 / 23 个好办法： “ 把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成 4 块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。 ” 聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？ 二、合作交流 探索正方形的性质（ 1）边的性质：； （ 2）角的性质：； （ 3）对角线的性质：； （ 4）对称性：。 三、典例分析 例 1、已知：如图，正方形 ABcD的对角线 Ac、 BD 相交于点o；正方形 A B c D 的顶点 A 与点 o 重合， A B 交Bc于点 E， A D 交 cD于点 F， E 是 Bc的中点。 （ 1）求证： F 是 cD 的中点 （ 2）若正方形 A B c D 绕点 o 任意旋