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文档简介

Chapter3(1),线性方程组的解的结构,教学要求：,理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件;,2.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念;,3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.,形如,的方程组,称为n个未知数m个方程的线性方程组.,系数矩阵,增广矩阵,常数项向量,解向量是列向量,方程组的矩阵形式：,方程组的向量形式：,若方程组有解，则称方程组相容；,若方程组无解，则称方程组不相容；,若方程组有唯一解，则称方程组为确定方程组；,若方程组多于一个解，则称方程组为不定方程组.,方程组的矩阵形式：,方程组的向量形式：,1.齐次线性方程组总有零解,所以齐次线性方程组总是相容的.,2.齐次线性方程组AxO有非零解的条件,定理1.,推论.,3.齐次线性方程组AxO解的结构,注意:,(1)由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间,若AxO有非零解,则有无穷多个解,这无穷多个解作为向量必线性相关,从而一定有最大无关组,即为解空间的基,这里又称为基础解系.AxO的通解为这基础解系的线性组合.,(3)基础解系的定义,定理2.,结论1.,结论2.,结论3.,结论4.,Proof.,Proof.,注意:,Axb的两个解的线性组合一般不是Axb的解.,其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.,所以，非齐次线性方程组Ax=b的通解为,四.齐次线性方程组AxO的基础解系的求法,现对取下列组数：,依次得,从而求得原方程组的个解：,下面证明是齐次线性方程组的基础解系,由线性无关的定义即可证明.,而前r个分量都由后nr个分量决定.,注意:,(1)基础解系不是唯一的;,定理3.,Theend,定理1.,Proof.,从而A与B可互相线性表示,即A与B等价.,page413ex35,page488ex6,page476-
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