高代-行列式代数余子式展开.ppt

高等代数（I）AdvancedLinearAlgebra,助教:沈非亓延峰,主讲教师:高峡理科楼1478Sgao_m_xia,大课周二3,4节理教109周五1,2节理教109习题课周二10,11节二教107一教207,教材:高等代数(第二版)上册，丘维声著参考材料：线性代数讲稿,施光燕著高等代数学习指导书上册,丘维声著LinearAlgebra，byProfGStrang（麻省理工开放式课程教学影片）,课件下载:,行列式的基本性质,1.对方阵求转置,行列式的值不变2.两行(两列)互换,行列式反号3.关于一行(一列)呈线性性质:一行(列)的公因子可以提到外面去;沿一行(列)可以拆成两个行列式的和.推论:一行(列)加上另一行(列)的倍数,行列式值不变.,作业：2.31(2)(3),2(2),3(2),4(2)2.41(2)(4),2,4,6,9补充题:求,B=2,4,1,5;3,2,6,9;3,7,1,8B=241532693718%求简化阶梯型rowreducedechelonformrref(B)ans=1.000000-0.600001.000001.2000001.00001.4000,Matlab求简化阶梯矩阵,Ex1.随机产生大矩阵,计算其简化阶梯矩阵,观察解的情况,%随机产生一个2021矩阵,元素在0到100之间分布A=100*rand(20,21);%A减去一个元素都是50的2021矩阵B=A50*ones(20,21);rref(B),Ex2.将图像转换成矩阵形式,作矩阵运算后还原成图像,%将照片image.jpg(jpeg,bmp格式)拖入workspace,点击%改名为f1%unit8格式改成double才能做算术X1=im2double(f1);%或直接输入X1=double(imread(images.jpg);%对矩阵作转置Y1=X1;%显示转置后的矩阵imshow(Y1),例:,F35.jpg,将图像转换成矩阵形式,%将照片F35.jpg(jpeg,bmp格式.)拖入Matlab的%Workspace区域,直接点击Workspace区域的%F35.jpg文件名,按弹出窗口提示输入%或在CommandWindow输入F35=imread(F35.jpg);%将unit8格式改成double才好做算术运算X=im2double(F35);%注意命令结尾加分号,将图像转换成矩阵形式,whosNameSizeBytesClassF35444x640 x3852480uint8arrayX444x640 x36819840doublearray%选红色灰度矩阵做运算X1=X(:,:,1);imshow(X1),裁取第111至222行,第320至480列的子阵,XX=X1(111:222,320:480);imshow(XX),对矩阵作转置,观察图像的变化,imshow(X1),对矩阵加白噪音,E=rand(444,640)-0.5*ones(444,640);imshow(X1+0.3*E),第二章方阵的行列式,1排列的奇偶性2行列式的定义3行列式的性质4行列式按一行(一列)展开5克莱姆(Cramer)法则6行列式按k行(k列)展开参考材料：课本第二章,余子式,代数余子式的概念,(i,j)元的余子式Mij,(2,3)元的余子式M23,(2,3)元的代数余子式A23,在n阶行列式中,划去第i行,第j列,余下的元素按原次序排成的n-1阶行列式称为(i,j)元的余子式,记为Mij.(i,j)元的代数余子式定义为,代数余子式添加的符号：,注:,行列式、余子式、代数余子式是数或公式,不要与矩阵的子阵搞混了;在有多个行列式的情况下，使用Mij,Aij符号时要特别指明是针对哪一个行列式；(i,j)元余子式、代数余子式只与第i行,第j列以外的元素有关,与第i行,第j列元素的取值、变化无关.,(1,1)元的代数余子式相同：,行列式按一行(列)展开,定理:,行列式等于其第i行诸元素与各自代数余子式的乘积之和,即,证明:先考察一种特殊情况,证明:,证明:,证明:,第i行,其中,i1次,j1次,其中,利用A=AT,不难得到,按一行(列)展开计算行列式,例:计算行列式,最佳方法,例:计算行列式,1,-1,例:计算n阶行列式(n1),例:计算n阶行列式(n1),Dn=aDn-1+,Dn=aDn-1bcDn-2,范德蒙(Vandermonde)行列式,n=2时,n=3时,-a1,-a1,n=2时,n=3时,范德蒙(Vandermonde)行列式,定理:对n1,有,证明:对n应用数学归纳法.当n=2,3时,上述公式成立;假设以上公式对n-1阶成立,我们来证明n阶的情况,-a1,-a1,-a1,由归纳假设,公式对n1阶行列式成立,由归