垂直于弦的直径（三）

1 / 5 垂直于弦的直径（三） 教学目标： 1、使学生能够熟练掌握垂径定理及两个推论； 2、使学生能够运用垂径定理及两个推论进行有关的证明和计算 3、通过例 4 的教学使学生了解垂径定理在实际问题中的应用，进一步提高学生用数学的意识； 教学重点： 垂径定理及推论的应用 教学难点： 实际问题转化为数学问题 教学过程： 一、新课引入： 这节课的主要内容是应用题例 4，例 4 是一个实际问题，它反映了数学与生产实际的联系，它 要求学生用数学的理论、思想、方法建立实际问题的数学模型，以解决实际问题这对进一步培养学生分析问题和解决问题有很大的帮助本节课就是引导学生把例 4 的实际问题转化成一个数学问题，然后综合运用垂径定理、勾股定理来加以解决 为了进一步理解运用垂径定理解决实际问题，教师有目的地安排两组复习题，启发学生进行回答 复习提问： 2 / 5 1垂径定理内容是什么？ 2判断题： 垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对 的弧；（） 经过弦中点的直径一定垂直于弦；（） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦一定平行；（） 平分弦所对的一条弧的直径一定垂直平分这条弦（） 学生回答的对错，由学生之间评价，从而得到正确答案其目的就是为了强化所学过的垂径定理及推论 1、推论 2，为本节课做准备工作 二、新课讲解： 例 41300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为米，求桥拱的半径（精确到米 ） 同学们，请看图 7-18 上这座石桥，这座桥就是例 4 中的古代的赵州石拱桥，学生一边观察桥的结构，教师一边讲解：“ 赵州桥又名安济桥，位于河北省赵县城南洨河上，是我国现存的著名古代大石桥，是隋代开皇大业年间（ 590 608）李春创建桥为单孔，全长米，桥面宽约 10 米，跨径约为33 米，拱圈矢高约 7 米，弧形平缓，拱圈由 28 条并列的石3 / 5 条组成，上设四个小拱，既减轻重量，又节省材料，又便于排水，且增美观，在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属创举，这反映了我 国古代劳动人民的智慧与才能现在这座桥为全国重点文物保护单位 ” 教师一席话一方面向学生进行爱祖国的教育；另一方面激发学生的学习动机，点燃学生的思维火花，激起学生思维的热情，使学生的思维处于最佳状态 教师为了让学生了解赵州石拱桥的背景，激发学生的求知欲望，当学生对这座桥产生好奇时，教师启发学生： “ 我们如何来求出这座桥的半径呢 ” ？接着教师分析： “ 我们知道这是一座石拱桥，我们可以把桥拱抽成一个几何图形，就是一个圆弧形 ” 这时教师画出图 7-19 对于一个实际问题求半径的长，能否转化成一个数学问题来解决呢？这就需要首先分析已知什么条件和欲求的未知是什么？师生共同分析解题思路教师板书： 解：圆表示桥拱，设的圆心为 o，半径为 R 米 经过圆心 o 作弦 AB 的垂线 oD， D 为垂足，与相交于足 c，根据垂径定理， D 是的中点， c 是 AB的中点， cD就是拱高由题设 AB=， cD=， 4 / 5 oD=oc-Dc= 在 RtoAD 中，由勾股定理，得 oA2=AD2+oD2， 即 R2=+（） 2 解这个方程，得 R （米） 答：赵州石拱桥的半径约为米 在例 4 的处理上，教师采取一边画图，一边分析，一边板书目的让学生掌握关于求弦、半径、弦心距及弓形高等问题，属于典型的数形结合问题，对于解决这种典型的问题就是依据已知和未知设法构造直角三角形，通过这个直角三角形就能把垂径定理和勾股定理有机地结合起来，就能很快地把未知转化为已知从而所求问题得以解决 巩固练习： P 81中 1 题 在直径为 650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽 AB=60mm，求 油的最大深度 对于这道题主要由学生分析，教师适当点拨 分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心 o 到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决 总结解题思路： 5 / 5 巩固练习：教材 P 82中 2 题（略） 三、课堂小结： 本节课主要要求学生综合运用垂径定理和勾股定理解决圆中线段的长等问题 如图在 o 中，设 o 半径为 R，弦 AB=a，弦心距 oD=d，弓形的高 DE=h且 oEAB 于 D 已知： R 、 d，求 a、 h R 、 h，求 a、 d R 、 a，求 d、 h d 、 h，求 R、 a 对于在 o 中在 R