数学建模论文-对教育部直属高校学费标准的建模与研究

对教育部直属高校学费标准的建模与研究摘要本文对当前中国国情下，教育部直属高校的学费标准进行了模型研究。模型一：首先，在认为高等教育的最终目标是取得最大化社会效益的前提下，将“社会效益”细化为学生培养质量、公平度和家庭满意度三个指标，并对每个指标赋予权重。由于每个指标均可表示为学费的函数，故目标函数社会效益也可表示为学费的函数：通过求解目标函数最大值对应的学费来确定合理的学费标准区间。分别求各指标与学费的关系：（1）确定学生培养质量指标表达式：经过仔细研究，本文认为社会效益是学生培养质量指标的指数函数，文中给出了详细的推理过程；而在学生培养质量与生均培养成本成正比例关系的假设下，可推导出学生培养质量与学费标准呈线性关系； （2）确定公平度指标表达式：对学生入学情况进行“动态仿真模拟”，精确拟合了辍学率和学费标准的函数关系，得到公平度指标是学费标准的高次函数；（3）确定家庭满意度指标表达式：将学生入学情况分为三类，仔细讨论了每类学生对家庭满意度指标的贡献参数，通过“动态仿真模拟”确定各类学生人数比例，得到家庭满意度指标表达式。对三个指标分别进行了归一化处理。权重的确定借鉴了模糊数学法应用和综合评价的思想，采用等权系数。利用互联网和图书馆收集相关数据，对数据的可用性进行分析。再以南京大学为例，分别采用离散和连续两种解法求解模型，求解结果基本相同，得到合理的学费标准区间为（元）。本文对求解结果与实际学费标准差异的原因提出了自己的看法。模型二：考虑国家对贫困生的资助政策，对模型做第一次改进。我们对辍学率的变化做了分析，比较了资助政策分别对城镇学生和农村学生的影响。我们发现，学费为6000元时，现有的资助政策可以使大约0.5%的学生受益。模型三：考虑学生培养质量的权重受专业因素的影响，对模型做第二次改进，即做权重值的修正。文中以不同专业学生工作的年均工资作为衡量指标，给出了针对几类典型专业的学生培养质量指标权重的具体数值。用两次改进后的模型三对三个大学的三类专业的学费标准进行了计算，并将求解结果与实际结果进行了比较分析，得到了本文所建立的模型比现行通用的学费计算方法更优的结论。在考虑了城乡经济的差异后，我们对模型进行了进一步优化。通过对比优化后模型的解和原模型的解，证明了优化后的模型更合理。本文在综合考虑多种因素对学费标准的影响的前提下，重视主要矛盾，忽略次要矛盾，建立了全面而简洁的模型；通过求解目标函数社会效益最大值对应的学费来确定合理的学费标准区间，思路巧妙独特；对社会效益的影响指标进行了详细的研究，特别的，我们提出了学生培养质量指标对其有几何级数的影响；建立了“动态仿真模拟”系统，对学生入学情况进行细致的模拟；利用互联网和图书馆收集了大量翔实可靠的数据，在验证模型的可靠性中起到了关键的作用。关键词：多因子评判 动态仿真模拟 权值修正 1问题重述高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使 学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是建模分析的基础和重要组成部分。论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。最后，根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。2问题分析2.1学校教育经费收入与学校高等教育成本间等量关系的确定根据本次竞赛题设中指出的高等教育经费来源，即国家财政拨款、学校自筹、社会捐赠及学费等，利用“成本收入平衡”的传统经济学思想，有以下关系：； 我们称高等教育经费来源中除学费收入以外的部分为“非学费收入”，即有：两边同时除于学生数即有：2.2学费的高低对学生家庭及高校双方的影响的分析正如题设所述，学费的设定问题，既复杂又敏感。学费过低，校方则会较大程度削减其事业性经费支出，从而无法保证高质量的人才培养；对学生方面，低学费提高了入学率，进一步增加了入学人数，但是加大了高校的成本压力，降低了高校教学质量。类似分析，学费过高，于校方是保证了一定的人才培养资金，但于学生方面，提高了辍学、失学率，“人力资源”呈流失态势，不利于国家、社会的发展。因此，一个合理的学费标准体系亟待确定。2.3合理的学费值的衡量标准高等教育的最终目标是取得最大化社会效益。对于某个特定地区的特定专业，它所产生的社会效益包括经济效益方面、社会影响方面和对家庭个体产生的影响，本文中分别指所培养学生对社会经济发展所做贡献、学费标准的社会公平性和学生家庭对该地区该专业学费标准的满意度。所以，本文中用学生培养质量、公平度和家庭满意度三个指标来衡量某个地区的某类学校的社会效益。而一个合理的学费值，应该使社会效益达到比较大的值。2.4培养质量、高等教育公平性及学生家庭满意度的分析1、 对学校方面而言，任何一个新学科、新专业的增设均本着“竭力培育人才”的原则进行的，人力资本的价值（日后体现为为社会服务而获得的工资）及人才的获得对本学校声誉提升和科研水平的提高有显著影响。基于此，各高校将在各类人才培养目标确立的前提下，核定生均培养成本（即生均成本），此成本同样可以作为某专业性人才的“培养质量”的直观体现。2、 在我国，每位公民均有接受高等教育的权利，并且权利平等。随着我国经济的发展，人均GDP呈增长趋势，然而伴随着“扩招”大旗的挥舞，各高校生源增多，而国家的学费收取又制约了高校根据自身体系结构而核定的生均成本的补偿性收费，从而学校赔本现象层出不穷，然而，即使是现在的学费水平，考虑到我国基尼系数较高，仍有一部分达线生不能入学，这种教育的不公平现象应该纳入我们此次建模的学费评判系统。3、 由于贫富状况的差异，同样的学费，不同的家庭承受能力不同。在假设所有家庭的教育支出占总支出的比例保持恒定前提下，家庭收入不同，其对学费的承受能力必将不同，但是这并不是说，承受能力（即可支配的教育支出）小于学费要求的家庭的子女就无法入学，因为随着目前国家财政性教育支出的比例的加大，对贫困生的扶助政策也相继出台完善。如果承受能力不是远低于学费的话，学生入学还是有可能的。这也是我们建立“学生入学情况动态仿真模拟系统”的依据之一。同时考虑到指标评判的必要性，我们引入“家庭满意度”概念，具体应用参见模型建立部分。2.5本文所讨论高校的范围本文中，我们仅对教育部直属高校的学费标准进行讨论（其他学校可作类似分析）。在教育部刊发的教育部直属高校白皮书上，我们查到2006年教育部直属高校“学生平均教育经费拨款”的数据，见下表。表一 教育部直属高校“学生平均教育经费拨款”序号学校名称生均教育拨款序号学校名称生均教育拨款1中央音乐学院 5.5237东华大学 0.822中山大学 2.5138中南大学 0.823中央美术学院 2.4939南京农业大学 0.814华南理工大学 1.6540武汉大学 0.785厦门大学 1.541东北大学 0.786东南大学 1.4342中央财经大学 0.787北京师范大学 1.3743华中科技大学 0.768清华大学 1.3744华中农业大学 0.759北京大学 1.2945南京大学 0.7510中央戏剧学院 1.2946北京广播学院 0.7411同济大学 1.2647上海财经大学 0.7412华中师范大学 1.2448北京化工大学 0.7313中国农业大学 1.2149北京科技大学 0.7114东北师范大学 1.1550北京外国语大学 0.7115中国人民大学 1.1451中国矿业大学 0.7116华东师范大学 1.1352重庆大学 0.6817兰州大学 1.1153中国药科大学 0.6818北京林业大学 1.154合肥工业大学 0.6819天津大学 1.0855武汉理工大学 0.6720南开大学 1.0656西南财经大学 0.6621大连理工大学 1.0257上海外国语大学 0.6522山东大学 158中国地质大学 0.6523浙江大学 0.9759河海大学 0.6324中国海洋大学 0.9760四川大学 0.6225陕西师范大学 0.9461电子科技大学 0.6126西安交通大学 0.9362北方交通大学 0.5927西北农林科技大学 0.9263石油大学 0.5728湖南大学 0.9164中国政法大学 0.5629复旦大学 0.9165北京邮电大学 0.5530华东理工大学 0.966中南财经政法大学 0.5431上海交通大学 0.8767西南交通大学 0.5432东北林业大学 0.8768江南大学 0.5133北京中医药大学 0.8769西安电子科技大学 0.4834长安大学 0.8670对外经济贸易大学 0.3835吉林大学 0.8671北京语言大学 0.336西南师范大学 0.832.6本文分析、建模思路的大致框图图一 建模思路框图2.7社会效益与学生培养质量的关系的确定根据上面的思路框图，生均成本与培养质量之间存在着正相关关系，这里我们可以把培养质量看成个人投资教育的投资回报，也可以理解为个人所获得的经济效益，经济效益越大其对社会的贡献越大，即该培养对象对社会效益的贡献越大。高经济效益是高质量的一种体现，因此我们把作为培养质量的一种衡量标准，称为“质量经济效益标定值“，记为,并且令。现在讨论重点将在于对社会效益的贡献方式问题上。首先我们想到的是与之间存在着线性关系，这也是自然界中两变量之间普遍存在的关系之一，然而我们同时也注意到一个普遍存在的事实：相形之下，高学历、高素质人才较低学历、低素质人才对社会的贡献更大（这里我们把这种贡献称之为培养对象的社会效益），并且更为值得注意的是，当我们把培养质量完全量化后（实际上定量该属性较为困难），质量分别为、的培养对象在比较其对社会的贡献上将存在如下大小关系：即在假设关于连续的前提下有：原因解释如下：我们采用一种累进的思想，意为累积、递进的意思。不妨简单地理解为一种经验累积问题。学历、素质越高的人被培养的时间一般越长，经验比学历、素质较低者丰富，从而形成同样程度的社会效益所用的时间、精力将少于经验较浅的低质量人才，因此，从当下时刻算起，在相同的时间段内，其对社会的贡献将大于经验较少的的培养对象，这也就是经验的累积使得个体的社会效益（对社会的贡献的大小）的增长速度的变化速率呈递进态势。根据的这种特有的性质，我们自然联想到使用指数函数来形成对的估计。 因此我们令 （I）为中其他的决定因素函数针对参数的确定，我们与线性下的情形： （II）做比较，考虑到(I) (II)式原点的同一性及问题的实际意义，我们得到最终的表达式：其中为权重 ，为中其他的决定因素函数。3模型假设1、 高等教育经费由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成；2、 对适合接受高等教育的经济困难的学生，国家以通过贷款和学费减、免、补等方式给予资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金；3、 贫困生受资助的机会是等可能的；4、 学费过高会使很多学生无力支付，学费过低会使学校财力不足而无法保证质量；5、 考虑到中国现有学费的标准，并结合中国国情，将合适的学费取值区间定为（元），并依此作为模型建立的依据；6、 文中收集到的数据分布在2005年到2007年之间，我们假设这些数据在近几年内不发生大的改变；7、 居民年收入符合正态分布；8、 由于家庭一年总收入都过万且存在一定的贫富差距，家庭年收入的标准差值假设在几千元左右；9、 学生培养质量与生均培养成本成正比例关系；4符号系统1、 第个学校2、 第个地区3、 社会效益4、 学生培养质量指标5、 学生培养质量指标归一化后的结果6、 公平度指标7、 公平度指标归一化后的结果8、 家庭满意度指标9、 家庭满意度指标归一化后的结果10、 学费11、 生均培养成本12、 学生培养质量与生均培养成本之间的比例系数13、 非学费成本14、 辍学率15、 模拟学生总人数 16、 模拟城镇总学生人数17、 模拟城镇入学学生人数18、 模拟农村总学生人数19、 模拟农村入学学生人数20、 模拟入学学生总人数21、 学费取不同值的总模拟次数 22、 地区城镇人口占总人口的比例23、 地区城镇人均年收入24、 城镇学生家庭人均年收入25、 地区农村人均年收入26、 农村学生家庭人均年收入27、 一个地区总人口的人均收入 28、 地区城镇人均年收入标准差29、 城镇学生家庭总的年收入30、 家庭可承受学费占总年收入的比例31、 家庭对学费的承受能力32、 随机产生一个在内的数 33、 能负担起学费并顺利入学学生人数占学生总人数比例34、 负担不起学费但通过借债等方式入学学生人数占学生总人数比例35、 能负担起学费并顺利入学学生家庭对学费的满意程度36、 负担不起学费但通过借债等方式入学学生家庭对学费的满意度37、 辍学学生家庭对学费的满意度38、 地区的家庭的平均学费承受能力39、 在表达式中的权值40、 在表达式中的权值41、 在表达式中的权值42、 专业43、 专业对应的年均工资44、 专业的年均工资归一化的结果5 模型建立5.1目标函数的确定高等教育的最终目标是取得最大化社会效益。对于某个特定地区的特定专业，它所产生的社会效益包括经济效益方面、社会影响方面和对家庭个体产生的影响，本文中分别指所培养学生对社会经济发展所做贡献、学费标准的社会公平性和学生家庭对该地区该专业学费标准的满意度。所以，本文中用学生培养质量、公平度和家庭满意度三个指标来衡量某个地区的某类学校的社会效益。令目标函数为社会效益，对三个指标各赋予一定权重值，我们的目标就是求一个合理的学费标准，可使得目标函数社会效益达到最大值。目标函数的表达式：其中，、分别为学生培养质量指标、公平度指标和家庭满意度指标。、表示指标归一化后的结果。学生培养质量指标、公平度指标和家庭满意度指标均是学费的函数，故目标函数也是学费的函数。下面我们通过分别求出学生培养质量指标、家庭满意度指标和家庭满意度与学费的函数关系来确定目标函数的具体表达式。5.2学生培养质量指标函数的确定假设学生培养质量与生均培养成本成正比例关系，比例系数为，即。下面我们将给出生均培养成本与学费的具体函数关系式。由于高等教育经费由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。即有如下表达式：高等教育经费=政府财政拨款+学校自筹+社会捐赠+学费收入在上述等式两边同时除以学生人数，我们得到如下等式：生均培养成本=生均拨款+学费为了方便讨论，将“生均拨款+”定义为“非学费收入”，则上面的等式可写成由此，我们得到学生培养质量指标函数5.3公平度指标函数的确定5.3.1公平度指标公平度指标可由该学费下的辍学率衡量，辍学率越小，则公平度指标函数值越大，所以，可将定义为。即下面，我们将求出辍学率与学费的函数关系。5.3.2辍学率的仿真模拟求法考虑到学费对学生是否辍学的影响极其复杂，呈现出动态性、随机性等特点，故我们采取对学生入学情况进行动态仿真模拟。设第个地区当年具有入学资格且希望能进入第类学校的学生总数为。具体步骤如下： 将学费的取值区间等距离分为个小区间； 令初值，为临时变量； 取，在该学费下，对名学生的入学情况进行动态仿真模拟，求出最终入学人数，计算辍学率； 令。判断若，若为真则转；否则，转； 对所得的组值进行拟合，得到与的函数关系。大量的理论和事实证明，年收入符合正态分布。考虑到城镇和农村的人均年收入值差别较大，所以分开进行仿真模拟。以城镇学生为例，用该地区城镇人口占总人口的比例（）近似作为城镇学生比例，即有；设当地城镇人均年收入为，则城镇学生家庭人均年收入符合以为期望的正态分布，即。在国家计划生育政策普及的情况下，大多数家庭是三口之家。所以，我们假设每个家庭平均有3名家庭成员，则家庭年收入为。根据正态分布的可加性，有。随机生成个城镇家庭年收入值，其中，。每个家庭需要负担衣食住行等各种消费，对教育消费有一定的承受能力，即只有当学费标准小于一定的数值时，这个家庭才能够负担起。这个数值可以用家庭年收入乘以一个比例系数来衡量。所以，每个家庭对学费的承受能力（即可承受的学费）可定义为。将与学费做比较，其中，为在内产生的随机数。它的引入是考虑到当家庭对学费的承受能力小于学费时，仍然可能通过向亲朋好友借债等方式入学。当时，就在入学学生总人数上加1。在对名城镇学生的入学情况进行动态模拟仿真后，我们就可以得到最终入学学生数，在某一学费下城镇辍学率。同理，可以得到对（）名农村学生中的最终入学学生数。则名学生的最终入学学生数。仿真模拟的算法流程图如下：图二 动态仿真模拟算法图最后，得到公平度函数指标5.4家庭满意度函数的确定我们定义的满意度函数是所有报考第个地区的第类学校的学生家庭满意度的总和，而由于学生家庭的经济情况不同，我们需要考查不同学生家庭对学费标准的满意程度。根据公平度指标函数确定过程中对学生入学情况的动态仿真模拟，我们将学生分为三类：表二 学生入学情况的分类学生分类家庭情况和入学情况该类学生比例第一类学生能负担得起学费并顺利入学第二类学生负担不起学费但通过借债等方式入学第三类学生负担不起学费从而没有入学其中，即为辍学率。由这种分类方式，我们定义满意度函数如下：其中、 分别表示三类学生对学费标准的满意度的贡献参量。下面，我们将对、和的表达式做出具体讨论。这三类学生中，第一类学生家庭对学费标准应该是比较满意的（相比于另两类家庭），故其对满意度的贡献应为正值。而学费越高，学费占家庭可支配收入的比重越大，学生家庭越不满意。基于以上事实，我们定义的取值在内，且当越大时，越小，大部分情况下，的值在的范围内。为第个地区的家庭的平均学费承受能力，具体计算方法如下：第三类学生由于没有入学，其对于学费标准应该是不满意的，故其对满意度的贡献为负值。而且，这类学生家庭由于自身的正当需求无法满足，会对学费标准的设定有较大意见。在此，我们取。第二类学生在家庭本身不能承受学费负担的情况下，通过借贷等方式入学。对学费标准的满意程度应介于第一类学生和第三类学生之间，为了简化问题，我们令。综上，我们得到满意度函数的表达式其中辍学率的函数表达式已在公平度指标函数确定过程中求出。可仿照的求法，由对学生入学情况的动态仿真模拟过程求出若干组值，再进行拟合得到函数关系式。5.5指标归一化注意到社会效益的各指标类型不一致，故应先应用下面三式对各指标值进行归一化：1、当是正向指标时有：2、当是负向指标时有：3、当是适度指标时，假设为最优适度区间，则有经变换后，由于本文的三个指标均为正向指标，所以采用第一种归一化方法：5.6权重的确定方法权重反映了各个指标在决策过程中所占有的地位或所起的作用，它直接影响决策的结果。现在通常是凭经验给出权重，这在一定程度上能反映实际情况，评判结果也比较符合实际。权重的确定方法主要有以下三种：1、专家估测法设因素集，现有个专家各自独立地给出各因素的权重，如表三所示：表三 专家给出的权重表专家因素专家11专家21专家k1权重1根据表三，可取各因素权重的平均值作为权重： ，即2、 加权统计方法当专家人数人时，可用加权统计方法来计算权重。按公式计算，其中，为序号数，为频率。3、 频数统计方法设因素集，请有关专家或熟悉此项工作的具有丰富经验的人不妨设（人）组成，根据权重分配调研表（表四），对因素集中的各个元素，各自独立地提出自己认为最合适的权重。表四 权重调查表因素权重1根据收回的权重分配调查表，对每个因素进行单因素的权重统计试验，其步骤如下：（1） 对因素在它权重中找出最大 值和最小值，即（2） 适当选取正整数，利用公式计算出把权重分成组的组距，并将权重从小到大分成组。（3） 计算落在每组内权重的频数和频率。（4） 根据频数和频率分布情况，一般取最大频率所在分组的组中值为因素的权重，从而得到权重向量表达式中、的权重确定方法：以上的三种确定权重方法方法均难以对本问题的表达式各项因子的权重作出有效的确定。然而在一般情况下，模糊数学法应用和综合评价时一般采用等权系数，我们借鉴这种思想，将权重值取为。6 模型求解本文以南京大学为例，求解使目标函数（省略下标和，下同）达到最大时的学费值，其他学校的求解过程类似。6.1求解学生培养质量指标函数根据学生培养质量指标函数的表达式，我们需要比例系数和非学费成本的具体数值。事实上，由于是一个评价指标，我们需要对它进行归一化处理，处理后的指标值始终在内，所以对于非零实数无论取何值，对的值放大或缩小若干倍对最后结果并不会造成影响。于是，具体处理时，我们可以先假设。在求非学费成本时，由于=生均拨款+我们需要“生均拨款”“学校自筹”“社会捐赠”和“学生人数”的具体数据。下表为我们在国家统计局年鉴上查得的数据：表五 2005年江苏省高校相关统计数据年份省份学校自筹资金（总量）社会捐赠（总量）高等学校本专科在校人数2005年江苏省384亿元18.5亿元99.48万人上表数据为江苏省内所有高校的统计数据，我们将其近似用于南京大学。表格里的数据为2005年的数据，我们假设最近几年内这些数据变动不大。在表一的教育部直属高校“学生平均教育经费拨款”统计（数据来源于教育部刊发的教育部直属高校白皮书）中，我们查到南京大学的生均拨款为0.75（万元）。考虑到学校自筹资金往往有多种用途，如教师的科研经费等等，我们假设其中有的比例用于培养学生。故（万元）学生培养质量指标函数（万元），即学生培养质量指标为学费的线性函数。6.2求解公平度指标函数公平度指标，而的求解与当地城镇人均年收入、农村人均年收入、城镇人口与农村人口比例、当地家庭的教育消费承受能力等许多因素有关。我们通过查找资料和仔细的研究分析分别给出它们的具体数值在江苏统计局网站上，我们查得以下数据：表六 2006年江苏省人均年收入和城镇人口比例年份省份城镇人均年收入（元）农村人均年收入（元）城镇居民人口比例2006年江苏省1625064800.44教育费用在居民家庭消费结构所占比例越来越大，平均已达三成。这里，我们将取为0.4。利用matlab编程进行仿真模拟（具体程序见附录），我们取，学费取值区间，。用求得的141组绘制散点图。下面我们通过拟合的方法求和的函数关系。我们分别采用15次多项式分别拟合，经过仔细的比较，我们发现四次多项式拟合的效果最好，拟合后的曲线如下：图三 图拟合后的曲线方程为公平度指标函数6.3求解家庭满意度函数我们采用修正前的满意度函数表达式，其中，已求得。将表六中的、和的数据代入。，。同时，取，代入上式求得（万元）。下面我们模仿的求法求。通过动态仿真模拟得到141组数据，绘制散点图，再进行四次多项式拟合。图四 图拟合后的曲线方程为得到满意度函数表达式6.4目标函数的求解6.4.1离散化解法离散化解法的解题步骤如下：在学费标准的合适取值区间内，按等间距取若干学费标准的值；对每个，分别求得其对应的三个指标学生培养质量指标、公平度指标和家庭满意度指标的值；将指标值分别做归一化处理，得到每个对应的、值；给每个指标分别赋予相应的权重值、；对每个，计算其对应的目标函数值。我们将学费标准的合适取值区间定为，以100为间距取学费值，共计取得71个学费值。模糊数学法应用和综合评价时一般采用等权系数，我们借鉴这种思想，将权重值取为。计算结果见下图：图五 离散化解法下的图从图中，我们看到，当学费取值为5400（元）左右时，目标函数达到最大值0.684。6.4.2连续化解法由于在5.1、5.2、5.3中我们已经分别求得学生培养质量指标、公平度指标和家庭满意度指标的值与自变量的表达式。分别为（1）由于三个指标均为正向指标，它们归一化处理的表达式为： （2）再结合目标函数的表达式 （3）联立（1）、（2）、（3）式，用数学软件Lingo进行求解。求得当（万元）时，目标函数值达到最大，为。我们绘制图如下：图六 连续解法下的图6.4.3求解结果分析令我们振奋的是，我们用两种解法解出的最优解的值极为接近。而且，对比两种解法下的图图七 离散解法与连续解法的图的对比我们发现，使目标函数取得较大值的的取值范围均在区间（万元）内，即当学费为50005500元时比较合理。我们查得实际南京大学的学费为4600元，针对实际情况和我们的求解结果的差异，我们提出以下几点理由：1、 在进行学生入学过程的动态仿真模拟时，学生的家庭经济情况按经济发展较好的江苏省的情况来进行仿真模拟。而实际上，南京大学是在全国范围内招生，所以必须考虑到其他经济不太发达地区的情况。所以，学费标准会在我们求出的50005500元的基础上作出一定的下调。2、 南京大学是一所知名度很高的国内一流大学，办学质量也很高。由此，“学校自筹资金”和“社会捐赠”的资金会超过省平均值，即在生均培养成本中学校负担的一部分会增加，学生自己负担那一部分（具体表现即为学费）会相应降低。7模型二考虑国家经济援助政策对公平度和家庭满意度的影响7.1改进后的模型对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。国家的这些经济援助政策帮助众多贫困学子圆了大学梦。在计算公平度函数指标和家庭满意度时，我们仿真模拟了学生的入学情况。考虑到一些原来上不了学的贫困学生（这里，我们将贫困学生定义为家庭年承受能力小于学费标准的学生，下同）受惠于国家的经济援助政策而入学，这会减小辍学率的值。在动态仿真模拟过程中，我们对这部分学生的入学条件做了修改。由于种种条件的限制，国家的这些经济援助政策往往未能惠及全部贫困学生。我们假设受惠贫困生占全部贫困生的比例为，平均受惠金额为，并且每名贫困生获得经济援助是等可能的。修改后，将每个家庭对学费的承受能力与学费做比较时的判断标准做如下修改：每当时，入学人数增加1。其中，和均为内的随机数，模拟的是有比例的贫困生受惠国家经济援助，模拟的是存在这样的学生，他们家庭无力承担学费但是通过向亲戚借钱或其他途径而得以入学。修改后的动态仿真模拟的算法流程如下：图八 第一次改进后的模型的动态仿真模拟的算法流程图7.2国家资助政策对辍学率的影响我们在网上查到以下数据：表七 国家资助高校贫困生相关数据年份各项措施资助高校贫困家庭学生的总金额资助学生人次200540亿元420.3万根据得（万元）我们仍以南京大学为例，并且将值取为0.2，通过对学生入学过程进行仿真模拟后，得到不同学费下的辍学率值。绘制图像并与没有国家资助情况下进行比较。图九 有国家资助和没有国家资助情况下总辍学率的比较图中，红色点表示没有国家资助时的情况，蓝色点表示有国家资助时的情况。不难发现，当学费超过5000（元）时，国家资助政策对辍学率就有较明显的影响。考虑到城镇和农村的经济水平差别较大，我们分别对国家资助政策对城镇学生的辍学率和农村学生的辍学率的影响进行比较。图十 国家资助政策对城镇学生的辍学率和农村学生的辍学率的影响比较可以看到：学费在300010000元时，城镇学生由于家庭经济情况本身较好，故几乎没什么影响；而农村学生在国家资助政策时，辍学率有明显的下降。根据上图，我们还可以得到不同学费标准下受益学生比例的具体数值。当学费为6000元时，大约有0.5%的学生在国家资助政策的帮助下入学；而当学费为7000元时，受益学生的比例可升高到1%。为了求出改进模型后的辍学率与学费函数关系，我们对改进后的图像进行多项式拟合，拟合后的曲线如下：图十一 第一次改进后模型的散点图和拟合图拟合后的曲线方程为7.3改进后的公平度指标函数由公平度指标函数的表达式得7.4 改进后的家庭满意度函数根据满意度函数的表达式，要求解家庭满意度函数，首先要求得第一类学生入学率的表达式。的解法可仿照的求法（具体体现在在图七改进后的模型的动态仿真模拟的算法流程图中）。我们得到的散点图和多项式拟合后的曲线如下：图十二 第一次改进后模型的散点图和拟合图拟合后的曲线方程为得到满意度函数表达式仍与模型一相同分别为：它们归一化处理的表达式为： 再结合目标函数的表达式用数学软件Lingo进行求解。求得当（万元）时，目标函数值达到最大，为。我们绘制图如下：图十三 连续解法下的图与模型一比较可知最大的社会效益稍微提高了一些，对应的最优学费标准比模型一的结果大一些。也就是说在有国家资助时，学校可以适当提高学费的收费标准以改善学校的硬软件教学设施，同时能保证社会效益不会降低。当然，从长远角度看，改善教学设施确实会对社会效益有很大贡献。 8模型三考虑专业差异对学生培养质量指标函数的权重的影响8.1模型的再一次改进在求解原模型时，我们采用的是模糊数学中综合评判系统的等权重思想，但实际上，衡量社会效益的三个指标学生培养质量指标、公平度指标和家庭满意度指标各自对应的权重、值不会完全相同。在讨论不同专业与各专业对应社会效益关系时，由于不同的专业对社会的贡献不同，所产生的社会经济效益也就不同。而社会经济效益在微观上表现为学生培养质量。所以，专业的差异会对学生培养指标函数的权重产生影响。不同专业的学生对社会贡献不同，社会对其的回报也就不同。所以，我们可以用该专业学生毕业后工作所获得报酬的高低来衡量该专业对社会的贡献。图十四 薪水与学生培养质量指标权重的关系图所以，学生培养质量指标的权重即为该专业的函数。即代表不同的专业。目标函数下面我们通过对具体专业的分析给出的具体数值。8.2对几类典型专业的最优学费标准的讨论从国家统计局年鉴里，我们查到2006年的十大行业的年平均工资和每种行业所对应的学科专业见下表：表八 十大行业所对应的学科专业和年均工资行业所对应专业年均工资（元）制造业机械工程、自动化等18225信息传输、计算机服务和软件计算机等44763建筑业土木工程等16406交通运输、仓储和邮政业通信、交通运输等24623餐饮食品科学等15206金融业金融、国际贸易等39280科学研究、技术服务物理、材料科学等31909教育师范类专业21134医疗卫生医药类专业23898文体音乐、戏剧、体育等26126对这些专业进行编号表九 不同专业的编号表编号专业年均工资（元）1机械工程、自动化等182252计算机等447633土木工程等164064通信、交通运输等246235食品科学等152066金融、国际贸易等392807物理、材料科学等319098师范类专业211349医药类专业2389810音乐、戏剧、体育等26126我们对年均工资做归一化处理，结果如下表十 年均收入归一化的结果1182250.102124476313164060.04064246230.318651520606392800.81457319090.56518211340.20069238980.294110261260.3694考虑到各指标权重、的值不应相差过大，所以我们考虑将的值限制在0.30.4的范围内。为了达到这个要求，我们将年均收入归一化后的结果乘以0.1后与0.3相加。即我们求得不同专业的值见下表表十一 不同专业对应的权重10.10210.31021210.430.04060.3040640.31860.33186500.360.81450.3814570.56510.3565180.20060.3200690.29410.32941100.36940.336948.3求解模型三从沿海到内陆选择三个城市（厦门、武汉、西安）的大学，各个城市的GDP分别为1.8万、1.1万、0.9万。事实上，考虑到各地区的经济发展水平不同，学费标准也应有所差别；并且专业不同，学费标准也应有所差别。我们用改进两次后的模型分别求解了西安交通大学、厦门大学、武汉大学的计算机类专业、金融类专业、理学类专业的学费标准（单位元），结果见下表：表十二 学费标准的计算值学校专业计算机类专业金融类专业理学类专业西安交通大学360044004300武汉大学560057005200厦门大学870088008500从互联网上我们查到实际的学费标准为：表十三 学费标准的实际值学校专业计算机类专业金融类专业理学类专业西安交通大学520014700(ACCA，国际注册会计师)4950武汉大学585058504500厦门大学973054005400用我们的模型计算出来的学费标准和现行的实际标准有一定的差别。了解到现行的大多数学费标准是用生均培养成本乘以25%来计算的，我们认为这种计算方法过于笼统。而我们所建立的模型全面考虑了影响学费的主要因素，所以是合理的。9模型优化在以上三个模型中函数表达式中，和都是按总人口来计算的。事实上，由于农村与城镇收入差距相差很大，一起计算难免会使最终学费标准不够精确。所以，可以将农村与城镇分开计算，即将项修正为其中，、分别是城镇学生和农村学生家庭中有能力支付学费的学生比例。、分别为城镇家庭和农村家庭的平均学费承受能力。修正后的满意度函数表达式为：（在程序moni_nihe.m中对应与Sm（有助学情况）将进行归一化处理为后，带入中求出学费（还以南京大学为例）（万元），这与比模型二求解的结果小一些，从而证明了我们对模型优化是合理的。10总结评价本文对当前中国国情下，教育部直属高校的学费标准进行了模型研究。文章的主要优点是：1、 在综合考虑多种因素对学费标准的影响的前提下，重视主要矛盾，忽略次要矛盾，建立了全面而简洁的模型；2、 通过求解目标函数最大值对应的学费来确定合理的学费标准区间，思路独特巧妙；3、 对社会效益的影响指标进行了详细的研究，特别的，我们提出了学生培养质量指标对其有几何级数的影响，并对结论做了证明；4、 建立了“动态仿真模拟”系统，对学生入学情况进行细致的模拟；5、 以南京大学为例，采用离散和连续两种解法分别求解模型，得到基本相同的结果，并将结果与实际的学费标准进行了讨论和分析；6、 分别分析了贫困生资助政策对城镇学生和农村学生入学率的影响，发现学费为6000元时，现有的资助政策可以使大约0.3%的学生受益；而当学费为7000元时，这一比例提高到1%；7、 考虑了专业差异对权重的影响，并给出了针对几类典型专业的学生培养质量的权重的具体数值。8、 利用互联网和图书馆收集了大量翔实可靠的数据，在验证模型的正确性中起到了关键的作用。9、 用两次改进后的模型对三个大学的三类专业的学费标准进行了计算，并将求解结果与实际结果进行了比较，得到本文所建立的模型比现行的学费计算方法更优的结论。11参考文献1张平等编,Matlab基础与应用简明教程，北京:北京航天航空大学出版社，20012赵静等编,数学建模与数学实验,北京:高等教育出版社,20083谢季坚，刘承平编,模糊数学方法及其应用，武汉:华中理工大学出版社，20004刘卫国，陈昭平，张颖编,MATLAB程序设计及应用,北京:高等教育出版社,20025贺武华. 教育制度变迁与我国高等教育发展 http : / //20030910/3090640.shtml, 200362005年中国统计年鉴 / 2007.9.217 邱雅，我国普通高校学费模型的分析与建立，教育与经济，27（6）：32-34，2006三因子决策下的学费评定建议有位国际友人曾如此言道：“我们不和你们比上一代，也不和你们比这一代，我们只和你们比下一代。”警钟经常如此平实地响起。教育，知识的延续，技艺的传承，经验的再一次累积。人类文明的滥觞，在一次次、一代代教育中，奇迹般地延续了下来。我们再也无法忽视“教育”的价值。我国为世界第一人口大国，忽略现今人口结构的老龄化不谈，学龄人群的数量仍极其庞大。这么庞大的一笔人力资源该如何利用，对于我国的教育部门来说无疑不是一项挑战。我们不妨引用“人力资本”的概念，凭借我们对人力资本的理解，它既是人类的，因为其体现在人身上；又是资本，因为它是未来满足或未来收入的源泉或者二者的源泉。我们日常的教育支出实际上即是对“人力资本”的投资一种方式，支出投入的直接结果是产生人力资本的主要部分“教育资本”。如果我们真的把上学缴费当作一种投资行为，那么“学费”这个概念，我们似乎可以把它理解为一种投资额的阈值，只有投资不小于学费标明的价格，才能够拥有获得教育资本的资格，其实不同入学条件下的学费值对于基尼系数较大的我国居民来说，很多时候会是自身教育投资的“瓶颈”，即某些教育需求群体在继续追加教育投资的时候，因财力承受能力与投资阈值的冲突，致使其不能顺利接受教育的情形。因此，这个“瓶颈”该