天津市2016年高考理科数学试题（带答案）

1 / 14 天津市 2016 年高考理科数学试题（带答案） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 绝密 启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 ) 数学（理工类） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 卷 1 至 2 页，第 卷 3至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 ！ 第 卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件，互斥，那么 如果事件，相互独立，2 / 14 那么 . 圆柱的体积公式 .圆锥的体积公式 . 其中表示圆柱的底面面积，其中表示圆锥的底面面积， 表示圆柱的高 .表示圆锥的高 . 一 .选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）已知集 合，则 （ A）（ B） （ c）（ D） （ 2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （ A）（ B）（ c）（ D） （ 3）在中，若， 则 （ A）（ B） （ c）（ D） （ 4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为 （ A）（ B） （ c）（ D） （ 5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则 “” 是 “ 对任意的正整数， ” 的 3 / 14 （ A）充要条件 （ B）充分而不必要条件 （ c）必要而不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴 长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为 （ A）（ B）（ c）（ D） （ 7）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接 并延长到点，使得，则的值为 （ A）（ B）（ c）（ D） （ 8）已知函数（，且）在 R 上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是 （ A）（ B） （ c） （ D） 绝密 启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 ) 数学（理工类） 第 卷 注意事项： 4 / 14 1.用黑色墨水的钢笔 或签字笔将答案写在答题卡上 . 2.本卷共 12 小题 ,共 110 分 . 二填空题 :本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 ,共 30 分 . （ 9）已知， R，是虚数单位，若，则的值为 _. （ 10）的展开式中的系数为 _.（用数字作答） （ 11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积 为 _. （ 12）如图，是圆的直径，弦与相交于点， ，则线段的长 为 _. （ 13）已知是 定义在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递增 .若实数满足， 则的取值范围是 _. （ 14）设抛物线（为参数，）的焦 点，准线为 .过抛物线上一点作的垂线，垂足为 .设，与相交于点 .若， 且的面积为，则的值为 _. 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 15）（本小题满分 13 分） 5 / 14 已知函数 . （ ）求的定义域与最小正周期； （ ）讨论在区间上的单调性 . （ 16）（本小题满分 13 分） 某小组共人，利用假期参加义工活动 .已知参加义工活动次数为，的人数分 别为， .现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会 . （ ）设为事件 “ 选出的人参加义工活动次数之和为 ” ，求事件发生的概率； （ ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列 和数学期望 . （ 17）（本小题满分 13 分） 如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点， . （ ）求证： 平面； （ ）求二面角的正弦值； （ ）设为线段上的点，且， 求直线和平面所成角的正弦值 . 6 / 14 （ 18）（本小题满分 13 分） 已知是各项均为正数的等差数列，公差为 .对任意的，是和的等比中项 . （ ）设，求证：数列是等差数列； （ ）设，求证 . （ 19）（本小题满分 14 分） 设椭圆的右焦点为，右顶点为 .已知， 其中为原点，为椭圆的离心率 . （ ）求椭圆的方程； （ ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点 .若，且 ，求直线的斜率的取值范 围 . （ 20）（本小题满分 14 分） 设函数， R，其中， R. （ ）求的单调区间； （ ）若存在极值点，且，其中，求证：； （ ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 7 / 14 一、选择题： （ 1）【答案】 D （ 2）【答案】 B （ 3）【答案】 A （ 4）【答案】 B （ 5）【答案】 c （ 6）【答案】 D （ 7）【答案】 B （ 8）【答案】 c 第 卷 二、填空题： （ 9）【答案】 2 （ 10）【答案】 （ 11）【答案】 2 （ 12）【答案】 （ 13）【答案】 (14)【答案】 三、解答题 （ 15） 【答案】（ ），（ ）在区间上单调递增 ,在区间上单调递减 . 【解析】 试题分析：（ ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍8 / 14 角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、周期根据（ 1）的结论，研究三角函数在区间 上单调性 试题解析：解：的定义域为 . . 所以 ,的最小正周期 解：令函数的单调递增区间是 由 ,得 设，易知 . 所以 ,当时 ,在区间上单调递增 ,在区间上单调递减 . 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、 配角公式 【结束】 (16) 【答案】（ ）（ ）详见解析 【解析】 试题分析：（ ）先确定从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件种数：，再确定选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（ ）先确定随机变量可能取值为再分别求出对应概率，列出概率分布，9 / 14 最后根据公式计算数学期望 试题解析：解：由已知，有 所以，事件发生的概率为 . 随机变量的所有可能取值为 ， ， . 所以，随机变量分布列为 随机变量的数学期望 . 考点：概率，概率分布与 数学期望 【结束】 (17) 【答案】（ ）详见解析（ ）（ ） 【解析】 试题分析：（ ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（ ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（ ）利用空间向量证明线面平行，关10 / 14 键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析：依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建 立空间直角坐标系，依题意可得， . （ I）证明：依题意， .设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以 . （ II）解：易证，为平面的一个法向量 .依题意， .设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得 . 因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 . （ III）解：由，得 .因为，所以，进而有，从而，因此 .所以，直线和平面所成角的正弦值为 . 考点：利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18) 【答案】（ ）详见解析（ ）详见解析 【解析】 试题分析：（ ）先根据等比中项定义得： ，从而，因此根据等差数列定义可证：（ ）对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论 . 试题解析：（ I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列 . 11 / 14 （ II）证明： 所以 . 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （ 19） 【答案】（ ）（ ） 【解析】 试题分析：（ ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（ ）先化简条件：，即 m 再 oA 中垂线上，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求 H，最后根据， 列等量关系解出直线斜率 .取值范围 试题解析：（ 1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为 . （ 2）（ ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为 .设，由方程组，消去，整理得 . 解得，或，由题意得，从而 . 由（ ）知，设，有， .由，得，所以，解得 .因此直线的方程为 . 设，由方程组消去，解得 .在中，即，化简得，即，解得或 . 所以，直线的斜率的取值范围为 . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 12 / 14 【结束】 （ 20） 【答案】（ ）详见解析（ ）详见解析（ ）详见解析 【解 析】 试题分析：（ ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论： 当时，有恒成立，所以的单调增区间为 . 当时，存在三个单调区间（ ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（ ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究 当时， 当时， 当时， . 试题解析：（ ）解：由，可得 . 下面分两种情况讨论： （ 1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为 . （ 2）当时，令，解得，或 . 当变化时，的变化情况如下表： 0 0 单调递增极大值单调递减极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， . （ ）证明：因为存在极值点，所以由（ ）知，且，由题意，得，即， 13 / 14 进而 . 又 ，且，由题意及（ ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；