矩阵的秩初等变换.ppt

第四节矩阵的秩,11页,定义1.4.1,在n阶,元素,余下来的,把元素,称为,的代数余子式,第j列,为元素,所在的第i行、,阶行列式,的余子式,元素,的余子式,去掉后,行列式中，,阶行列式,34页定义2.4.1,在,矩阵,中,取,行,列,交叉点,每一个元素,是A的1阶子式,是A的,2阶子式,A的3阶子式,同样可得,4阶子式,有,5阶子式,吗？,的,个元素,组成的,阶行列式,称为,的,阶子式,设,为,阶,方阵,则,中,的余子式,元素,是,的,阶子式,34页定义2.4.2,如果,矩阵,有一个,阶子式,不,等于零，,且,所有,阶子式,全,等于零，,则,称,为,的秩,记为,零矩阵的秩,等于零,秩等于1,有1阶子式不等于0,所有2阶子式全部等于0,有2阶子式不等于0,所有3阶子式全部等于0,秩等于2,有3阶子式,所有4阶子式全部等于0,秩等于3,51页(8),设矩阵,的秩,为,则,51页(9),设矩阵,且,则,例1已知,，求该矩阵的秩,解,13页定理1.4.2,分别乘以,它的任一行,它们的,再相加,行列式等于,的每个元素,在n阶,行列式中，,如果,任何一个,元素,的余子式,都,等于零，,则,该,行列式,等于零，,代数余子式，,设,为,阶,方阵,1)若,则,为,非奇异,方阵,为,满秩,方阵,重要结论,2)若,则,为,奇异,方阵,为,降秩,方阵,3)若,则,且,有一个元素的,代数余子式,不等于零，,4)若,则,所有元素的,代数余子式,都等于零，,第五节初等变换,初等方阵,定义1,下面三种变换,对调两行,乘以k,把其中的行改为列,某一行,记为,记为,初等行变换、,对矩阵A,称矩阵,就得到初等列变换,统称为,初等变换,初等行变换,第1种变换：,第2种变换:,第3种变换:,记为,记作,初等列变换,乘以非零数k,某一行,加到另一行.,初等方阵：,初等变换,由单位矩阵,初等方阵,经过一次,3种初等变换,方阵,对应着,初等变换,3类初等方阵,经过有限次,变成矩阵B，,A与B等价，,得到的,称为,称为矩阵的,第1类初等方阵：,对调E中的,的第,相当于,相当于,左,行,右,列,两行,两列,对调,第,两行,的第,对调,第2类初等方阵:,用非零数k,的第,行乘以,乘以,行,第,相当于,非零数,的第,列乘以,相当于,非零数,第3类初等方阵：,E中的,加到另一行,某一行,乘以k,第,行乘以,相当于,加到,第,行,相当于,第,列乘以,加到,第,列,定理设,是初等方阵,相当于,相当于,设,是初等方阵,相当于,相当于,A是一个矩阵，,则,设,是初等方阵,因为,因此,初等变换,不会改变矩阵,的秩,若,是一个,阶方阵，,若,则,用初等变换,对矩阵进行,其中的非零行,变成,就是矩阵的秩.,例1,解,的秩,对矩阵A进行初等行变换,变成为行阶梯形矩阵,求矩阵,求矩阵的秩：,初等行变换,行阶梯形矩阵:,的个数,定理1,阶梯形矩阵中,有三个非零行,行最简形矩阵。,标准形矩阵,任何矩阵,经过有限次,初等行变换，,一定能够变成,行阶梯形矩